Dans une étude récente, des mathématiciens de la Freie Universität Berlin ont démontré que le carrelage plan, ou pavage, est bien plus qu'un moyen de créer un joli motif. Constituées d’une surface recouverte d’une ou plusieurs formes géométriques sans espaces ni chevauchements, les pavages peuvent également être utilisés comme un outil précis pour résoudre des problèmes mathématiques complexes.
C'est l'une des principales conclusions de l'étude intitulée « La beauté dans/des mathématiques : les tessellations et leurs formules », rédigée par Heinrich Begehr et Dajiang Wang et récemment publiée dans la revue scientifique Analyse applicable. L'étude combine les résultats du domaine de l'analyse complexe, de la théorie des équations aux dérivées partielles et de la théorie des fonctions géométriques.
L'un des thèmes centraux de l'étude est le « principe de réflexion du parquet ». Cela fait référence à l’utilisation de réflexions répétées de formes géométriques sur leurs bords pour carreler un plan, ce qui donne lieu à des motifs hautement symétriques. Des exemples esthétiques de pavages planaires peuvent être vus dans les travaux de MC Escher. Au-delà de son attrait visuel, le principe a des applications en analyse mathématique, par exemple comme base pour résoudre des problèmes de valeurs limites classiques tels que le problème de Dirichlet ou le problème de Neumann.
« Nos recherches montrent que la beauté en mathématiques n'est pas seulement une notion esthétique, mais aussi quelque chose de profond et d'efficace structurel », explique le professeur Begehr. « Alors que les recherches antérieures sur les pavages se sont largement concentrées sur la manière dont les formes peuvent être utilisées pour carreler ou recouvrir une surface (par exemple, certains travaux bien connus réalisés par le lauréat du prix Nobel Sir Roger Penrose), l'utilisation de la méthode de réflexion du parquet pour générer de nouveaux pavages ouvre de nouvelles possibilités.
« C'est un outil pratique pour développer des moyens de représenter les fonctions au sein de ces régions carrelées, ce qui pourrait être utile dans des domaines tels que la physique mathématique et l'ingénierie. »
En particulier, il peut être utilisé pour dériver des formules spécifiques pour les fonctions du noyau, notamment les noyaux de Green, Neumann et Schwarz, certains des outils pouvant être utilisés pour résoudre des problèmes de valeurs limites en physique et en ingénierie. En tant que tel, ce travail crée une connexion élégante entre l’intuition géométrique et la précision analytique.
Le principe du parquet-réflexion est de plus en plus connu depuis plus d'une décennie et est particulièrement populaire comme sujet de recherche parmi les chercheurs en début de carrière. Depuis son développement initial, un total de quinze thèses et thèses de fin d'études à la Freie Universität ont exploré le sujet, ainsi que sept autres thèses rédigées par des chercheurs étrangers.
Remarquablement, le principe fonctionne non seulement dans l’espace euclidien, mais également dans les géométries hyperboliques, celles utilisées en physique théorique et dans les visualisations modernes de l’espace-temps. L’intérêt pour le principe reste élevé. L'année dernière, Begehr a publié un article intitulé « Hyperbolic Tessellation: Harmonic Green Function for a Schweikart Triangle in Hyperbolic Geometry », dans la revue Variables complexes et équations elliptiques dans lequel il a démontré l'utilisation du principe de parquetage-réflexion pour construire la fonction de Green harmonique pour un triangle de Schweikart dans le plan hyperbolique.
« Nous espérons que nos résultats trouveront un écho non seulement dans les mathématiques pures et la physique mathématique », dit Wang, « mais pourront même inspirer des idées dans des domaines comme l'architecture ou l'infographie ».
La tradition du carrelage à Berlin
Depuis près de deux décennies, le groupe de recherche dirigé par Begehr à l'Institut de mathématiques de la Freie Universität Berlin étudie ce que l'on appelle les « carrelages de miroirs de Berlin », une méthode basée sur le principe de réflexion unifiée développé par le mathématicien berlinois Hermann Amandus Schwarz (1843-1921).
Dans cette approche, un polygone circulaire (une forme dont les bords sont constitués de morceaux de lignes droites et d'arcs de cercle) est réfléchi à plusieurs reprises jusqu'à ce que l'ensemble du plan soit entièrement et de manière transparente, sans aucun chevauchement ni espace. Ces modèles sont non seulement visuellement frappants, mais permettent également des représentations intégrales explicites des fonctions, un outil clé pour résoudre des problèmes complexes de valeurs limites.
« Les mathématiciens devaient autrefois utiliser un miroir de courtoisie en trois parties pour produire une séquence infinie d'images », explique Begehr. « De nos jours, nous pouvons utiliser des programmes informatiques itératifs pour générer le même effet, et nous pouvons compléter cela avec des formules mathématiques exactes utilisées dans des analyses complexes. »
Triangles de Schweikart et beauté hyperbolique
Bien qu'elles soient considérées comme très impressionnantes sur le plan esthétique, les pavages dans des espaces hyperboliques, par exemple dans un disque circulaire, représentent un défi particulier pour les mathématiciens. C'est ici qu'interviennent les « triangles de Schweikart » : des triangles spéciaux comportant un angle droit et deux angles nuls, du nom du mathématicien amateur et professeur de droit Ferdinand Kurt Schweikart (1780-1857).
Ces triangles permettent le carrelage complet et régulier d'un disque circulaire, produisant des motifs avec un attrait esthétique qui offre une nouvelle inspiration aux infographistes et aux architectes. Dans le même temps, les constructions mathématiques sous-jacentes sont très complexes et nécessitent des méthodes analytiques avancées.
Les mathématiques comme science visuelle
Les découvertes de l’équipe mettent en évidence un aspect souvent négligé des mathématiques : il s’agit non seulement d’une discipline abstraite, mais aussi d’une science visuelle dans laquelle la structure, la symétrie et l’esthétique jouent un rôle central. Lorsqu'elles sont associées à des techniques de visualisation modernes, des logiciels graphiques et des outils numériques, ces informations deviennent d'autant plus pertinentes.
