Le mathématicien le plus important dont vous n'avez jamais entendu parler

Alexander Grothendieck était un titan dans son domaine, établissant des liens profonds qui ont alimenté une révolution en mathématiques, avant de tout abandonner et de disparaître. Jacob Aron explore ce que signifiait son travail

Demandez à quelqu'un de nommer le physicien le plus important des 20^ème siècle, et ils diront presque certainement Albert Einstein. Posez la même question sur le domaine des mathématiques, cependant, et vous serez probablement rencontré par des regards vierges – c'est pourquoi je vais vous présenter Alexander Grothendieck.

Einstein, à la fois l'inventeur de la théorie de la relativité et une figure clé dans le développement de la mécanique quantique, a eu une énorme influence sur la physique, et il a transcendé la science pour devenir une véritable célébrité mondiale. Grothendieck a sans doute joué un rôle similaire dans la transformation des mathématiques, mais il a disparu des cercles académiques puis de la société en général avant sa mort, ne laissant son héritage écrit que dans son travail révolutionnaire.

Avant cela, le travail de Grothendieck et sa personnalité ont fait de lui une vente difficile en tant que personnalité publique, par rapport à l'Einstein de showboating. Bien sûr, les idées d'Einstein sur la nature de l'espace, du temps et de l'univers étaient incroyablement complexes, notamment lorsqu'elles étaient exprimées mathématiquement, mais il avait un talent pour la narration qui rendait son travail accessible. Des exemples comme le Twin Paradox, dans lequel un astronaute voyageant à grande vitesse trouve que son jumeau a vieilli plus qu'à leur retour, sont un excellent moyen de comprendre la relativité.

En revanche, même décrivant ce que Grothendieck s'est levé nécessite de plonger dans un gâchis de concepts abstraits et inconnus. Je ferai de mon mieux pour expliquer une partie de cela, mais je ne peux vraiment jamais réussir à donner une impression de surface.

Commençons au niveau supérieur. Grothendieck est surtout célèbre parmi les mathématiciens pour redéfinir les fondements de la géométrie algébrique. Très largement, il s'agit d'un domaine concernant la relation entre les équations et les formes algébriques. Par exemple, les valeurs de l'équation x² + y² = 1, lorsqu'elles sont tracées sur un graphique, forment un cercle de rayon 1.

L'une des premières personnes à vraiment commencer à formaliser cette relation entre l'algèbre et la géométrie a été le philosophe du XVIIe siècle René Descartes, dont nous utilisons encore les coordonnées cartésiennes pour tracer des équations sur des graphiques aujourd'hui. Mais cette relation peut aller beaucoup plus loin. Les mathématiciens aiment généraliser, dans le sens de prendre une idée et de l'étirer pour être aussi large que possible, en établissant des liens qui n'étaient pas évidents auparavant. Grothendieck était un maître dans ce domaine – en effet, un livre sur sa vie et son travail a décrit «la recherche d'une généralité maximale» dans le cadre de sa signature mathématique personnelle.

Se référant à l'équation du cercle ci-dessus, l'ensemble des points qui résolvent l'équation et composent le cercle est ce que les mathématiciens appellent une «variété algébrique». Une variété algébrique ne doit pas être un ensemble de points sur le plan cartésien. Il peut également être des points dans l'espace 3D (ceux qui composent une sphère, par exemple) ou même des dimensions plus élevées.

Ce n'était pas suffisant pour Grothendieck. Par exemple, prenez les équations x² = 0 et x = 0. Les deux ont une seule solution, réglant x sur 0, ce qui signifie que leur ensemble de points – leurs variétés algébriques – sont les mêmes. Et pourtant, il est clair que les équations sont différentes, donc quelque chose se perd ici. En 1960, dans le cadre de sa recherche de généralité maximale, Grothendieck a introduit le concept d'un «schéma», qui visait à capturer ces informations supplémentaires.

Comment ça marche? Ici, nous avons besoin d'un autre concept: une bague. De manière confuse, cela n'a rien à voir avec la forme du cercle dont nous parlons. Au lieu de cela, ce que les mathématiciens appellent un «anneau» est une collection d'objets qui, lorsqu'ils sont ajoutés ou multipliés, restent dans cette collection – dans un sens, ils sont enfermés, ou se retournent sur eux-mêmes, tout comme un anneau, bien que le nom ne soit qu'une métaphore lâche.

L'exemple le plus simple d'un anneau est les entiers: tous les nombres entiers négatifs, tous les nombres entiers positifs et zéro. Peu importe comment vous ajoutez ou multipliez un entier, vous vous retrouverez toujours avec un entier. Une autre propriété essentielle d'un anneau est qu'elle a une «identité multiplicative», ce qui signifie qu'il s'agit d'un objet qui, lorsqu'il est multiplié par un autre objet, produit toujours le deuxième objet. Dans les entiers, c'est simple – l'identité multiplicative est 1, car tout entier multiplié par 1 est inchangé. Cela nous donne également un exemple pratique de quelque chose qui n'est pas un anneau – l'ensemble des entiers uniformes n'a pas 1, donc pas d'identité multiplicative.

En introduisant des schémas, Grothendieck a combiné l'idée de variétés algébriques avec celle des anneaux (Remarque: Je suis légèrement en agitant à la main des complexités supplémentaires ici!) Pour coder les informations manquantes pour les équations comme x² = 0 et x = 0. Cela a été incroyablement puissant, car il permettait aux mathématiciens de transformer les problèmes de la variété, puis de s'attaquer à des sous-disciplines avec des problèmes géométriques sans perdre de manière cruciale, puis de s'attaquer à des sous-disciplines en géométriques Outils géométriques.

Je vais mettre en évidence deux problèmes importants qui sont tombés aux mathématiciens brandissant la nouvelle épée de schémas. Les premiers sont les conjectures de Weil, quatre déclarations proposées en 1949 par le mathématicien André Weil qui concernait compter le nombre de solutions pour des types particuliers de variétés algébriques. Pour en revenir à notre exemple de cercle, il existe un nombre infini de valeurs qui correspondent à l'équation x² + y² = 1 (vous pouvez à peu près considérer cela comme étant similaire à dire qu'un cercle a un nombre infini de «côtés»). Mais Weil était intéressé par les variétés où seul un nombre fini de solutions est possible. Il a conjecturé, mais ne pouvait pas prouver, une équation connue sous le nom de fonction Zeta pourrait compter ces solutions.

Utilisant des schémas, Grothendieck et ses collègues ont pu prouver trois des conjectures de Weil en 1965, avec la quatrième preuve à venir un peu plus tard en 1974 de Pierre Deligne, un ancien étudiant de ses schémas également. La preuve de Deligne a été considérée comme l'un des plus grands résultats de 20^ème Mathématiques du siècle, répondant à un défi qui a intrigué les mathématiciens depuis 25 ans. Il a également cimenté à quel point les schémas de Grothendieck pourraient être puissants dans la liaison des domaines de mathématiques, dans ce cas, la théorie et la géométrie du numéro de cas.

Les schémas ont également joué un rôle essentiel dans la fissurationⁿ + bⁿ = Cⁿ Si n est un entier supérieur à 2 (le cas de 2 lui-même est simplement le théorème de Pythagore, vous le remarquerez peut-être). Il a été griffonné par 17^ème Le mathématicien du siècle Pierre de Fermat en marge d'un livre de mathématiques, qui, selon lui, était trop petit pour contenir sa preuve. Mais Fermat n'avait certainement pas de preuve, étant donné que la solution de Wiles s'appuyait sur les mathématiques développée beaucoup plus tard, notamment par Grothendieck. Par exemple, Wiles a utilisé les outils de la géométrie algébrique pour traduire le problème en des courbes elliptiques concernant, un type particulièrement utile de variété algébrique qui peut être étudié avec le langage des schémas, mais vraiment toute son approche a été inspirée par la nouvelle façon de penser que Grothendieck avait présenté.

Il y a tellement plus de travail de Grothendieck que je n'ai pas couvert qui composent les outils fondamentaux que de nombreux mathématiciens utilisent aujourd'hui. Par exemple, il a généralisé l'idée de «l'espace» (au sens mathématique) à un «topos», vous permettant de considérer non seulement les points de l'espace, mais de nombreux niveaux d'informations supplémentaires lorsque vous essayez de résoudre un problème. Lui et ses collègues ont également écrit deux immenses tomes sur la géométrie algébrique qui servent toujours de Bible pour le sujet aujourd'hui.

Alors avec toute cette influence, pourquoi n'avez-vous pas entendu parler de lui? Comme je l'ai peut-être démontré, son travail prend des efforts pour saisir. Mais il a également évité les projecteurs pour diverses raisons. En tant que pacifiste engagé, il a refusé d'assister à la cérémonie de 1966 pour son attribution de la médaille des champs, l'un des plus hauts honneurs en mathématiques, car il se tenait à Moscou et il s'est opposé aux actions militaires de l'Union soviétique (il avait des opinions similaires sur l'action militaire américaine, il faut dire). « La fertilité est mesurée par la progéniture, et non par les honneurs », a-t-il dit, préférant laisser son travail mathématique parler de lui-même.

En 1970, il a abandonné le monde universitaire, laissant sa position à l'Institut des Hautes études scientifiques en France pour protester contre son financement militaire. Au départ, il a poursuivi son travail mathématique en dehors du monde universitaire formel, mais il est devenu de plus en plus isolé. En 1986, il a écrit une autobiographie, Récoltes et truiesà propos de son expérience de la mathématique et de sa désillusion avec la communauté mathématique. L'année suivante, il a produit un manuscrit philosophique appelé La clé des rêvesdans lequel il a décrit comment Dieu lui a envoyé des rêves prophétiques. Les deux textes ont circulé parmi les mathématiciens mais n'ont été officiellement publiés que ces dernières années.

Au cours de la décennie suivante, Grothendieck s'est retiré encore plus loin de la société. Vivant dans un village français éloigné, ayant coupé tous les liens avec la communauté mathématique, à un moment donné, il a tenté de subsister uniquement sur la soupe de pissenlit jusqu'à l'intervention des habitants. On pense qu'il a continué à écrire beaucoup sur les mathématiques et la philosophie, mais aucun des travaux n'a été publié. En effet, en 2010, il a commencé à envoyer des mathématiciens une lettre exigeant que rien ne devrait l'être. Pour toutes les connexions qu'il a établies – et ont rendu possible – dans le monde des mathématiques, il les a finalement rejetés dans sa vie personnelle. Il est décédé en 2014, laissant derrière elle un immense héritage mathématique.