Dans une approche qui rappelle le jeu de société classique « Battleship », des chercheurs de Stanford ont découvert un moyen de caractériser avec une grande précision la structure microscopique de matériaux quotidiens tels que le sable et le béton.
Les matériaux hétérogènes ou mixtes ont des composants répartis dans des emplacements aléatoires. Par exemple, le béton – le matériau fabriqué par l’homme le plus abondant – est composé de ciment, d’eau, de sable et de pierre grossière.
Prédire où un composant particulier apparaît dans une mosaïque de béton ou dans le sous-sol de la Terre peut aider les chercheurs à comprendre comment concevoir des matériaux plus résistants, à évaluer la viabilité à long terme de sites potentiels de stockage souterrain de dioxyde de carbone ou de déchets nucléaires et à répondre à d'autres questions cruciales sur le comportement de systèmes complexes. Mais les efforts de modélisation précédents ont échoué.
Dans une étude en Lettres d'examen physiqueles chercheurs présentent une nouvelle approche mathématique pour débloquer des informations sur la composition d'un matériau basée sur la connaissance de tout autre point aléatoire, comme prendre une photo dans Battleship. L'approche est basée sur une méthode statistique courante connue sous le nom de modèle de Poisson.
« Avec cette étude, nous avons résolu le célèbre modèle de Poisson pour les matériaux hétérogènes », a déclaré l'auteur principal de l'étude, Alec Shelley, titulaire d'un doctorat. étudiant en physique appliquée dans le laboratoire de Daniel Tartakovsky à la Stanford Doerr School of Sustainability.
« Nos résultats pourraient avoir un impact considérable sur plusieurs domaines scientifiques, car les matériaux hétérogènes sont courants et leurs modèles n'ont presque jamais de solutions exactes. »
Étant donné qu’une vaste gamme de propriétés utiles découlent d’arrangements microstructuraux comme ceux du béton, les nouvelles découvertes pourraient permettre la conception de matériaux meilleurs, plus solides et moins chers.
« Ce qu'Alec a réussi à faire dans cette étude est tout à fait remarquable », a déclaré Tartakovsky, professeur de sciences et d'ingénierie énergétiques. « Grâce à son approche, vous pourriez concevoir un matériau composite selon vos spécifications et obtenir certaines propriétés basées sur le bon mélange de composants. »
Des applications abondantes
Pour l’avenir, Shelley et Tartakovsky souhaitent appliquer la solution mathématique pour prédire la composition de plusieurs matériaux. Le modèle révèle « une énorme liste » de propriétés liées à la microstructure, a déclaré Shelley, notamment la dureté, l'élasticité, la résistance à la traction, la conductivité électrique et thermique, la rapidité avec laquelle une substance se déplace à travers une autre substance, la susceptibilité magnétique, la transmission de la lumière, etc.
Avec le béton, cette approche pourrait guider les ingénieurs vers l’optimisation de la microstructure. Le béton est rempli de petites poches d'air qui, si elles sont bien modélisées, pourraient être remplies de matériaux supplémentaires, tels que des cendres volantes, des scories ou du biocharbon, réduisant ainsi la teneur globale en ciment. Cela réduirait à son tour les émissions de dioxyde de carbone liées à la fabrication du ciment et augmenterait globalement la résistance du béton tout en réduisant les coûts.
D'autres applications incluent la modélisation de milieux fracturés et poreux, un défi central dans la gestion des eaux souterraines, ainsi que dans l'élimination des déchets nucléaires, l'énergie géothermique et la séquestration du carbone. « Ces systèmes sont complexes et difficiles à modéliser », a déclaré Tartakovsky.
« Cependant, les fonctions multipoints du modèle de Poisson que nous résolvons dans cette étude offrent un nouvel outil pour comprendre et prédire leur comportement. »
Prédictions via Poisson
Le modèle de Poisson doit son nom à Siméon-Denis Poisson, mathématicien et physicien français des années 1800. Il a développé ce qui est devenu connu sous le nom de statistiques de Poisson, qui décrivent des événements indépendants, tels que des flocons de neige atterrissant sur la langue ou des clics radioactifs provenant d'un compteur Geiger.
Le modèle de Poisson suit ces statistiques en décrivant un espace divisé en un motif de formes aux bordures parfaitement droites, où les bordures sont rendues indépendamment les unes des autres.
De cette manière, en tant que modèle microstructural, le modèle de Poisson peut simuler avec précision un large éventail de matériaux hétérogènes, allant de l'apparence et de la répartition des fragments de glace sur un lac gelé au persillage d'un steak juteux.
Shelley a décrit un moyen simple de créer une réalisation d'un modèle de Poisson à partir de zéro, ce qu'il faisait souvent dans le cadre de son travail pour la nouvelle étude : prenez un morceau de papier et tracez des lignes aléatoires dessus pour créer des régions disjointes séparées par les lignes comme bordures, puis coloriez ces régions arbitrairement pour obtenir une mosaïque.
La nouvelle recherche part de cette configuration en plaçant ensuite métaphoriquement un morceau de papier sur la mosaïque colorée. Percer un seul trou dans le papier supérieur révèle une certaine couleur de la mosaïque située en dessous.
Ces informations, à leur tour, peuvent être exploitées mathématiquement via des corrélations multipoints pour prédire le motif de la mosaïque avec une précision croissante, en fonction de la connaissance d'un certain contexte de la mosaïque et de la réalisation de plus de trous, des couleurs que les trous ultérieurs révéleraient probablement, comme on le ferait pour un matériau hétérogène.
« C'est comme si nous avions créé le lecteur de cuirassé parfait pour deviner les couleurs de ce modèle », a déclaré Shelley.
Dans la vraie vie, prédire où certaines couleurs apparaîtront équivaut à savoir de manière crédible où se trouvent les composants dans la microstructure d'un matériau hétérogène.
« Si vous pouvez prédire cette microstructure et savoir où se trouvent les éléments au microscope, vous pouvez contrôler intentionnellement les propriétés macroscopiques qui y sont liées », a déclaré Shelley. « C'est à cela que contribue cet article. »
Pour parvenir à la solution mathématique des corrélations multipoints du modèle de Poisson, Shelley s'est appuyé sur des outils du domaine de la géométrie stochastique, qui concerne les modèles de points aléatoires. Au départ, Shelley comptait uniquement sur un stylo et du papier, dessinant des points, des lignes et des formules dans un cahier avec un stylo à quatre couleurs.
Pour évaluer sa solution pour deux points de couleurs connues, il a ajouté à la main huit nombres et variables différents. Pour trois points, cependant, le calcul s'est étendu à 128 termes différents, et pour quatre points, il s'est tourné vers des simulations informatiques, de peur de passer des semaines ou des mois à faire des calculs manuels.
Selon Shelley, le travail apparemment minutieux était tout sauf le cas. « J'adore les mathématiques et j'avais une double spécialisation en mathématiques au premier cycle, donc j'avais les connaissances nécessaires pour essayer ce problème », a-t-il déclaré.
Shelley est doctorante à l'École des sciences humaines et des sciences.
