Les mathématiciens pensaient comprendre comment fonctionne la rotation, mais une nouvelle preuve a révélé une tournure surprenante qui permet de réinitialiser même une séquence de mouvement complexe.
Peut-on défaire une toupie ?
Imaginez que vous faites tourner une toupie et que vous la laissez ensuite s'immobiliser. Existe-t-il un moyen pour vous de faire tourner à nouveau la toupie afin qu'elle se retrouve dans la position exacte où elle a commencé, comme si vous ne l'aviez jamais fait tourner du tout ? Étonnamment, oui, disent les mathématiciens qui ont découvert une recette universelle pour annuler la rotation de presque tous les objets.
Intuitivement, il semble que la seule façon d’annuler une séquence compliquée de rotations est d’effectuer minutieusement les mouvements exactement opposés, un par un. Mais Jean-Pierre Eckmann de l'Université de Genève en Suisse et Tsvi Tlusty de l'Institut national des sciences et technologies d'Ulsan (UNIST) en Corée du Sud ont découvert un bouton de réinitialisation caché qui consiste à modifier la taille de la rotation initiale par un facteur commun, un processus connu sous le nom de mise à l'échelle, et à le répéter deux fois.
Dans le cas de la toupie, si votre rotation initiale avait fait tourner la toupie des trois quarts, vous pouvez revenir au début en augmentant votre rotation à un huitième, puis en la répétant deux fois pour vous donner un quart de rotation supplémentaire. Mais Eckmann et Tlusty ont montré qu’il était également possible de procéder ainsi dans des situations bien plus compliquées.
« C'est en fait une propriété de presque tous les objets qui tournent, comme une rotation, un qubit, un gyroscope ou un bras robotique », explique Tlusty. « Si (des objets) suivent une trajectoire très alambiquée dans l'espace, simplement en mettant tous les angles de rotation à l'échelle du même facteur et en répétant cette trajectoire compliquée deux fois, ils reviennent simplement à l'origine. »
Leur preuve mathématique commence par un catalogue de toutes les rotations possibles dans trois dimensions spatiales. Ce catalogue, connu sous le nom de SO(3), peut être décrit à l'aide d'un espace mathématique abstrait doté de règles spéciales et structuré comme une balle, avec l'action de pousser un objet à travers une séquence de rotations dans l'espace réel correspondant au déplacement d'un point de la balle à un autre, comme un ver creusant un tunnel dans une pomme.
Lorsque vous faites tourner une toupie d'une manière compliquée, le chemin équivalent dans l'espace SO(3) commence au centre même de la balle et peut se terminer à n'importe quel autre point de la balle, en fonction des détails de la rotation. L’objectif d’annuler la rotation équivaut à trouver un chemin pour revenir au centre de la balle, mais comme il n’y a qu’un seul centre, vos chances de le faire au hasard sont minces.
Quelques-uns des nombreux chemins pouvant être empruntés à travers l'espace mathématique SO(3), correspondant à des séquences de rotations dans l'espace réel
Ce qu'Eckmann et Tlusty ont réalisé, c'est que, en raison de la façon dont SO(3) est structuré, annuler une rotation à mi-chemin équivaut à trouver un chemin qui vous amènera n'importe où sur la surface de la balle. C'est beaucoup plus facile que d'essayer d'atteindre le centre, car la surface est composée de nombreux points, explique Tlusty. C’était la clé de la nouvelle preuve.
Les deux hommes ont passé beaucoup de temps à rechercher des raisonnements mathématiques qui ne menaient nulle part, explique Eckmann. Ce qui a finalement fonctionné, c'est une formule du XIXe siècle permettant de combiner deux rotations ultérieures, appelée formule de Rodrigues, et un théorème de 1889 issu d'une branche des mathématiques connue sous le nom de théorie des nombres. En fin de compte, les chercheurs ont conclu que le facteur d’échelle nécessaire à leur réinitialisation existe presque toujours.
Pour Eckmann, ces nouveaux travaux illustrent à quel point les mathématiques peuvent être riches, même dans un domaine aussi répandu que l'étude des rotations. Tlusty dit que cela pourrait également avoir des conséquences pratiques, par exemple dans le domaine de la résonance magnétique nucléaire (RMN), qui est à la base de l'imagerie par résonance magnétique (IRM). Ici, les chercheurs apprennent les propriétés des matériaux et des tissus en étudiant la réponse des spins quantiques à l’intérieur de ceux-ci aux rotations qui leur sont imposées par les champs magnétiques externes. La nouvelle preuve pourrait aider à développer des procédures permettant d’annuler les rotations de spin indésirables qui pourraient interférer avec le processus d’imagerie.
Ces travaux pourraient également conduire à des progrès dans le domaine de la robotique, estime Josie Hughes de l'École polytechnique fédérale de Lausanne, en Suisse. Par exemple, un robot roulant pourrait être amené à suivre une trajectoire de segments répétitifs, comprenant un mouvement fiable de roulis, de réinitialisation et de roulis qui pourrait, en théorie, durer indéfiniment. « Imaginez si nous avions un robot capable de se transformer en n'importe quelle forme de corps solide, il pourrait alors suivre n'importe quel chemin souhaité simplement en changeant de forme », dit-elle.
