Quelque part à la limite des mathématiques se cache un nombre si grand qu'il brise les fondements mêmes de notre compréhension – et en 2025, nous avons fait un pas de plus vers sa découverte.
Quand les chiffres deviennent grands, les choses deviennent bizarres
En 2025, les limites des mathématiques sont apparues un peu plus clairement lorsque les membres de la communauté en ligne Busy Beaver Challenge se sont rapprochés d'un nombre énorme qui menace de défier les fondements logiques du sujet.
Ce nombre est le prochain de la séquence « Busy Beaver », une série de nombres toujours plus grands qui émergent d’une question apparemment simple : comment savoir si un programme informatique fonctionnera pour toujours ?
Pour le savoir, les chercheurs se tournent vers les travaux du mathématicien Alan Turing, qui a montré que n'importe quel algorithme informatique peut être imité en imaginant un dispositif simplifié appelé machine de Turing. Des algorithmes plus complexes correspondent aux machines de Turing avec des ensembles d’instructions plus grands ou, en langage mathématique, plus d’états.
Chaque numéro Busy Beaver BB(n) capture le temps d'exécution le plus long possible pour une machine de Turing à n états. Par exemple, BB(1) vaut 1 et BB(2) vaut 6, donc rendre l'algorithme deux fois plus complexe multiplie par six son temps d'exécution. Mais le taux de cette augmentation s’avère extrême, par exemple, le cinquième numéro de Busy Beaver est 47 176 870.
Les membres du Busy Beaver Challenge ont déterminé la valeur exacte de BB(5) en 2024, mettant ainsi fin à un effort de 40 ans visant à étudier toutes les machines de Turing à cinq états. Alors, naturellement, l’année 2025 a été marquée par une course-poursuite collective après BB(6).
En juillet, un membre connu sous le nom de mxdys a découvert une limite inférieure à sa taille, et ce nombre s'est avéré non seulement beaucoup plus grand que BB(5), mais vraiment énorme, même si on le compare au nombre de particules de notre univers.
Écrire tous ses chiffres est physiquement impossible, c'est pourquoi les mathématiciens utilisent plutôt une sorte de notation appelée tétration. Cela équivaut à élever à plusieurs reprises un nombre à une puissance supérieure, par exemple, 2 tétraté à 2 est égal à 2 élevé à la puissance 2 élevé à la puissance 2, soit 16. BB(6) est au moins 2 tétraté à 2 tétraté à 2 tétraté à 9, une tour gargantuesque de tétration itérée.
Fixer BB(6) ne sera pas seulement une question d'établir des records, mais cela peut également avoir de profondes implications pour l'ensemble des mathématiques. En effet, Turing a prouvé qu'il doit y avoir certaines machines de Turing dont le comportement ne peut pas être prédit selon un ensemble d'axiomes appelé théorie ZFC, qui constitue le fondement sur lequel reposent toutes les mathématiques modernes standard.
Les chercheurs ont déjà prouvé que BB(643) échapperait à la théorie ZFC, mais la question de savoir si cela pourrait se produire pour des nombres plus petits est une question ouverte – à laquelle le Busy Beaver Challenge pourrait contribuer à répondre.
En juillet, il y avait 2728 machines de Turing possédant six états mais dont le comportement à l'arrêt n'avait pas encore été vérifié. En octobre, ce nombre est tombé à 1 618. « La communauté est très active en ce moment », explique l'informaticien Tristan Stérin, qui a lancé le Busy Beaver Challenge en 2022.
L’une des machines récalcitrantes pourrait détenir la clé de la valeur exacte de BB(6). L’un d’eux pourrait également s’avérer inconnaissable, exposant les limites du cadre ZFC et d’une grande partie des mathématiques modernes. Au cours de l’année prochaine, les passionnés de mathématiques du monde entier travailleront certainement dur pour tenter de toutes les comprendre.
