Plier un morceau de papier plat en tore – une forme avec un trou au milieu – nécessite des compétences en origami. C’est quelque chose qui manque au mathématicien Richard Evan Schwartz. Pourtant, il a répondu à une question mathématique persistante sur le processus.
Son travail – réalisé principalement sur ordinateur plutôt qu’avec du papier – révèle le plus petit nombre de plis nécessaire pour réaliser un tore en papier. Le papier doit avoir au moins 24 plis, formant 16 triangles qui se rejoignent en huit points, ou sommets, rapporte Schwartz dans le 26 mai. Actes de l'Académie nationale des sciences.
Pour fabriquer un tore à partir d'un morceau de papier, vous pouvez le rouler dans un tube et plier le tube pour relier ses deux extrémités, formant ainsi un beignet. Cela impliquerait probablement des froissements inélégants et potentiellement quelques coupures de papier.
Une méthode plus raffinée consiste à plier le papier selon un nombre défini de triangles, lui permettant de se plier élégamment dans la forme souhaitée. Schwartz, de l'Université Brown à Providence, RI, a une affinité pour les objets mathématiques minimaux ; il avait auparavant trouvé la bande de Möbius la plus courte possible. Il voulait donc savoir comment créer un tore avec le moins de plis, ou de manière équivalente, le plus petit nombre de sommets.
Pour créer un tore à partir d’une feuille de papier plate, une exigence mathématique doit être remplie à chacun des sommets du tore – les endroits où les triangles se rencontrent. Pour chaque sommet du tore, les angles des triangles qui s’y rencontrent doivent totaliser 360 degrés. Pensez à une pizza coupée en tranches. Additionnez les angles au bout de chaque tranche et vous obtiendrez 360 degrés.
Un tore avec neuf sommets répondant à cette condition avait déjà été découvert. Les mathématiciens avaient également décrit un tore comportant seulement sept sommets, mais personne ne savait si les sept pouvaient répondre à l'exigence d'une tranche de pizza. Schwartz a prouvé que l'un des sommets échouerait toujours à ce test, excluant ainsi un tore en papier à sept sommets.
Ensuite, Schwartz a utilisé l’apprentissage automatique pour voir si un tore à huit sommets était possible. Son programme a identifié un modèle de pliage qui a fonctionné. Une fois construite, elle ressemble à une tente pour chiots avec un rabat supplémentaire à l’intérieur. Schwartz a créé un modèle pour que tout le monde puisse plier le sien, à condition que ses compétences en origami soient à la hauteur.
