Des chiffres énormes
Richard Elwes
Livres de base, 32 $
Essayez de penser à un très grand nombre. Qu’est-ce qui me vient à l’esprit ? Un billion ? Un quintillion ? Ou peut-être un google (10100ou un 1 suivi de 100 zéros) ou même un googolplex (un 1 suivi de zéros googol).
Préparez-vous à ce que ces chiffres semblent soudainement imperceptiblement minuscules. Dans le livre Des chiffres énormesle mathématicien Richard Elwes présente des chiffres d'une taille incompréhensible, si énormes que les mathématiciens ont dû inventer une nouvelle notation rien que pour les écrire. C'est une délicieuse étude du domaine de la googologie, l'étude des grands nombres.
Les grands chiffres peuvent sembler être un intérêt de niche. Mais, écrit Elwes, « les petits nombres sont l’exception ; les grands nombres sont la règle ». C’est parce que les nombres s’allongent indéfiniment, augmentant indéfiniment. Choisissez n’importe quel nombre énorme auquel vous pouvez penser. Il y a plus de nombres d’une grandeur supérieure à cette valeur que de nombres plus petits.
Elwes guide le lecteur à travers un bourbier de chiffres toujours plus nombreux. Cela inclut les chiffres énormes qui peuvent découler d'une croissance exponentielle, comme 2 $ × 1034 (un 2 suivi de 34 zéros), le montant auquel un tribunal russe a infligé une amende à Google en 2024 en raison d'une sanction financière qui montait rapidement. Mais aussi des séquences de nombres qui explosent encore plus vite, si vite qu’elles brisent les normes mathématiques et nécessitent de nouveaux manuels de règles arithmétiques pour les expliquer.
Mais le récit d'Elwes commence de manière inattendue, avec des nombres comme 4 et 5. Les humains ont un sens inné des nombres qui nous permet de distinguer de petites quantités, inférieures à 5 environ, sans les compter. Au-delà de ce seuil, les choses deviennent floues. Mais la technique du comptage nous permet de dépasser nos limites innées. Elwes continue dans cette veine, expliquant les technologies numériques, développées tout au long de l’histoire des mathématiques, qui invoquent le langage, la notation et éventuellement les ordinateurs pour permettre aux humains de traiter des quantités de plus en plus grandes.
À partir de là, Elwes plonge dans les chiffres énormes présents dans la science, en particulier en physique : la taille immense du cosmos et les innombrables années qui nous attendent alors que l’univers s’éteint lentement. La litanie des grands nombres à ce stade peut rendre les yeux du lecteur éblouis. Mais Elwes vient à peine de commencer.
Pour décrire les grands nombres pertinents pour l’univers, la notation scientifique est généralement suffisante. Dans ce système, les grands nombres sont représentés par un 10 avec un exposant, ce qui indique un 10 multiplié par lui-même un nombre de fois donné, soit 3 × 106 représente 3 000 000, soit 3 millions.
Mais à un moment donné, ce système atteint ses limites. Un seul exposant ne peut contenir qu'un nombre limité de zéros avant de devenir difficile à interpréter, comme 1010000000000. Ensuite, les mathématiciens se tournent vers des tours de puissances, des exposants qui ont eux-mêmes des exposants. Dans cette notation, 1010000000000 devient une tour de trois dizaines. Mais finalement, ces tours deviennent trop hautes pour être écrites. Un type de notation appelé flèches de Knuth prend le relais. 5↑↑4 représente une tour de 4 cinq de haut. Même cette notation finit par s'épuiser, nécessitant les montagnes de Knuth.
Et ainsi de suite, jusqu'aux nombres qui ne sont représentés que par des fonctions mathématiques, étiquetés avec des noms de mathématiciens ou des surnoms originaux : les nombres de Goodstein, le nombre de Rayo, les nombres de castors occupés, le nombre 7 de Fish. Ici, les nombres sont si époustouflants qu'ils ne sont plus attachés à la réalité, liés, par exemple, aux capacités d'ordinateurs hypothétiques appelés machines de Turing, dotés de pouvoirs magiques.
Parfois, le lecteur peut perdre le fil, car Elwes s'engage sur des tangentes dont on ne sait pas clairement comment elles se rapportent aux grands nombres. Finalement, il revient en arrière, mais à mesure que les chiffres deviennent plus complexes, le fil devient plus difficile à saisir.
Mais le lecteur patient désireux de s’en tenir à Elwes sera récompensé par une nouvelle appréciation des chiffres et un cadre de référence considérablement élargi sur ce que signifie être vraiment, insondablement grand. C'est une joie de s'émerveiller de voir à quel point les frontières ont été brisées à maintes reprises, grâce aux explorateurs créatifs et intrépides des plus grands nombres connus.
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