Vous avez brouillé un cube Rubik, et maintenant vous voulez le remettre en ordre. Quelle séquence de mouvements devriez-vous faire?
Surprise: vous pouvez répondre à cette question avec l'algèbre moderne.
La plupart des gens qui ont suivi des cours de mathématiques au lycée auront suivi un cours appelé algèbre – peut-être même une séquence de cours appelée algèbre I et Algèbre II qui vous a demandé de résoudre pour x. Le mot «algèbre» peut évoquer des souvenirs d'équations polynomiales à l'air compliqué comme Ax² + Bx + C = 0 ou des graphiques de fonctions polynomiales comme y = ax² + bx + c.
Vous vous souvenez peut-être d'avoir appris la formule quadratique pour comprendre les solutions à ces équations et trouver où l'intrigue traverse également l'axe des x.
Des équations et des parcelles comme celles-ci font partie de l'algèbre, mais ce n'est pas toute l'histoire. Ce qui unifie l'algèbre, c'est la pratique de l'étude des choses – comme les mouvements que vous pouvez faire sur un cube de Rubik ou les chiffres sur un visage d'horloge que vous utilisez pour dire le temps – et la façon dont ils se comportent lorsque vous les assemblez de différentes manières. Que se passe-t-il lorsque vous enchaînez les mouvements du cube du Rubik ou que vous additionnez des numéros sur une horloge?
Dans mon travail de mathématicien, j'ai appris que de nombreuses questions d'algèbre se résument à la classification des objets par leurs similitudes.
Sets et groupes
Comment les équations comme AX² + BX + C = 0 et leurs solutions ont-elles conduit à l'algèbre abstraite?
La version courte de l'histoire est que les mathématiciens ont trouvé des formules qui ressemblaient beaucoup à la formule quadratique pour les équations polynomiales où la puissance la plus élevée de X était de trois ou quatre. Mais ils ne pouvaient pas le faire pour cinq. Il a fallu des galois et des techniques mathématiciennes qu'il a développées – maintenant appelée la théorie du groupe – pour faire un argument convaincant qu'aucune formule de ce type ne pourrait exister pour les polynômes avec une puissance la plus élevée de cinq ou plus.
Alors qu'est-ce qu'un groupe, de toute façon?
Cela commence par un ensemble, qui est une collection de choses. Le bol de fruits dans ma cuisine est un ensemble, et la collection de choses s'y fait des morceaux de fruits. Les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12 forment également un ensemble. Les sets n'ont pas trop de propriétés – c'est-à-dire les caractéristiques – mais si nous commençons à faire les choses aux numéros 1 à 12, ou aux fruits dans le bol de fruits, cela devient plus intéressant.
Appelons cet ensemble de numéros 1 à 12 «numéros d'horloge». Ensuite, nous pouvons définir une fonction d'addition pour les numéros d'horloge en utilisant la façon dont nous disons l'heure. Autrement dit, dire « 3 + 11 = 2 » est la façon dont nous ajouterions 3 et 11. C'est bizarre, mais si vous y réfléchissez, 11 heures après 3 heures, c'est à 2 heures.
L'ajout d'horloge a de belles propriétés. Il satisfait:
- fermetureoù ajouter des choses dans l'ensemble vous donne autre chose dans l'ensemble,
- identitéoù il y a un élément qui ne modifie pas la valeur des autres éléments dans l'ensemble lorsqu'il a ajouté – l'ajout de 12 à un nombre égal à ce même numéro,
- associationoù vous pouvez ajouter où vous voulez dans l'ensemble,
- inverseoù vous pouvez annuler tout ce qu'un élément fait, et
- commutativitéoù vous pouvez modifier l'ordre des numéros d'horloge que vous additionnez sans modifier le résultat: a + b = b + a.
En satisfaisant toutes ces propriétés, les mathématiciens peuvent considérer les numéros d'horloge avec l'ajout d'horloge un groupe. En bref, un groupe est un ensemble avec un moyen de combiner les éléments superposés sur le dessus. L'ensemble de fruits dans mon bol de fruits ne peut probablement pas être transformé en groupe facilement – quelle est une banane plus une pomme? Mais nous pouvons faire un ensemble de numéros d'horloge en groupe en montrant que l'ajout d'horloge est un moyen de prendre deux numéros d'horloge et d'atteindre un nouveau qui satisfait les règles décrites ci-dessus.
Bagues et champs
En plus des groupes, les deux autres types fondamentaux d'objets algébriques que vous étudiez dans une introduction à l'algèbre moderne sont les anneaux et les champs.
Nous pourrions introduire une deuxième opération pour les numéros d'horloge: multiplication d'horloge, où 2 fois 7 est 2, car 14 heures est la même que 2 heures. Avec l'ajout d'horloge et la multiplication de l'horloge, les numéros d'horloge répondent aux critères de ce que les mathématiciens appellent un anneau. Cela est principalement dû au fait que la multiplication d'horloge et l'ajout d'horloge satisfont ensemble un composant clé qui définit un anneau: la propriété distributive, où a (b + c) = ab + ac. Enfin, les champs sont des anneaux qui satisfont encore plus de conditions.
Au tournant du 20e siècle, les mathématiciens David Hilbert et Emmy Noether – qui étaient intéressés à comprendre comment les principes de la relativité d'Einstein fonctionnaient mathématiquement – l'algèbre unifiée et montraient l'utilité d'étudier les groupes, les anneaux et les champs.
Tout est amusant et jeux jusqu'à ce que vous fassiez le calcul
Les groupes, les anneaux et les champs sont abstraits, mais ils ont de nombreuses applications utiles.
Par exemple, les symétries des structures moléculaires sont classées par différents groupes ponctuels. Un groupe de points décrit les moyens de déplacer une molécule dans l'espace afin que même si vous déplacez les atomes individuels, le résultat final est indiscernable de la molécule avec laquelle vous avez commencé.
Mais prenons un exemple différent qui utilise des anneaux au lieu de groupes. Vous pouvez configurer un ensemble d'équations assez compliqué pour décrire un puzzle Sudoku: vous avez besoin de 81 variables pour représenter chaque endroit où vous pouvez mettre un numéro dans la grille, les expressions polynomiales pour coder les règles du jeu et les expressions polynomiales qui prennent en compte les indices déjà sur le plateau.
Pour que les espaces sur le plateau de jeu et les 81 variables correspondent bien, vous pouvez utiliser deux indices pour associer la variable à une place spécifique sur le tableau, comme utiliser x₃₅ pour représenter la cellule dans la troisième rangée et la cinquième colonne.
La première entrée doit être l'un des nombres 1 à 9, et nous représentons cette relation avec (x₁₁—1) (x₁₁—2) (x₁₁—3) ⋅⋅⋅ (x₁₁—9). Cette expression est égale à zéro si et seulement si vous avez suivi les règles du jeu. Étant donné que chaque espace sur la planche suit cette règle, c'est déjà 81 équations juste pour dire: « Ne branchez rien d'autre que 1 à 9. »
La règle « 1 à 9 apparaît chacune une fois dans la rangée supérieure » peut être capturée avec des morceaux sournois de pensée algébrique. La somme de la rangée supérieure va ajouter jusqu'à 45, c'est-à-dire que x₁₁ + x₁₂ + ⋅⋅muni + x₁₉ – 45 sera nul, et le produit de la ligne supérieure sera le produit de 1 à 9, ce qui est pour dire que x₁₁ x₁₂ ⋅⋅ X₁₉ – 9⋅8⋅7f
Si vous pensez qu'il faut plus de temps pour mettre en place toutes ces règles que pour résoudre le puzzle, vous ne vous trompez pas.
Qu'obtenons-nous en faisant cette traduction compliquée en algèbre? Eh bien, nous pouvons utiliser des algorithmes de la fin du 20e siècle pour déterminer les chiffres que vous pouvez brancher sur la carte qui satisfont toutes les règles et tous les indices. Ces algorithmes sont basés sur la description de la structure de l'anneau spécial – appelé un idéal – ces indices de plateau de jeu font dans l'anneau plus grand. Les algorithmes vous diront s'il n'y a pas de solution au puzzle. S'il existe plusieurs solutions, les algorithmes les trouveront tous.
Ceci est un petit exemple où la configuration de l'algèbre est plus difficile que de faire le puzzle. Mais les techniques généralisent largement. Vous pouvez utiliser l'algèbre pour résoudre les problèmes de l'intelligence artificielle, de la robotique, de la cryptographie, de l'informatique quantique et bien plus encore, avec le même sac de trucs que vous utiliseriez pour résoudre le puzzle Sudoku ou Rubik's Cube.
