Le dernier jour du mois d’août, un mathématicien humain a lancé une série d’avancées sur l’un des problèmes les plus célèbres de la théorie des nombres – et a été presque instantanément remplacé par l’IA.
Julia Stadlmann de l'Université de l'Illinois à Urbana-Champaign a rapporté un nouveau record dans la quête pour résoudre la conjecture des nombres premiers jumeaux, qui postule qu'il existe une infinité de paires de nombres premiers séparés par seulement deux nombres (3 et 5 sont des nombres premiers jumeaux, par exemple, tout comme 17 et 19). Il s’agit de la première avancée de ce type depuis plus d’une décennie.
Il s'agit d'un « problème diaboliquement difficile », déclare le mathématicien Kannan Soundararajan de l'Université de Stanford, qui dit admirer la persévérance et le courage de Stadlmann. « C'était vraiment très impressionnant. »
En trois jours, une startup d'IA appelée Axiom Math s'est appuyée sur les approches de Stadlmann pour tirer le meilleur parti de ses efforts. Deux heures après l'annonce d'Axiom, les deux records ont été dépassés par OpenAI, qui, cinq jours plus tard, prétendait avoir résolu une autre des plus grandes énigmes mathématiques.
« C'est une histoire de David contre Goliath où l'humain remporte l'or », explique Kevin Ford, mentor postdoctoral de Stadlmann à l'Illinois. Pendant trois jours au moins.
Cette série d’événements rapides a fait monter en flèche l’angoisse des mathématiciens face à l’IA. De l'avis de nombreux chercheurs, certaines sociétés d'IA non seulement bouleversent les normes professionnelles, mais compromettent également la quête de connaissances des chercheurs. « Ce que nous voyons ici est la conséquence de choix très délibérés d’abandonner toute prétention d’acquérir une compréhension humaine… et d’utiliser des outils d’IA dans le seul but d’atteindre une référence », a écrit Terence Tao de l’UCLA, médaillé Fields et probablement le blogueur le plus influent en mathématiques, sur mathstodon.xyz.
Chasser des paires
Les nombres premiers, ceux qui ne peuvent être divisés que par un et par eux-mêmes, exercent une fascination apparemment sans fin pour les mathématiciens, qui se demandent depuis longtemps où ils apparaissent sur la droite numérique et pourquoi. La conjecture des jumeaux premiers, à laquelle on se bat depuis au moins le 19ème siècle, est largement considérée comme vraie mais n'est toujours pas prouvée par les théoriciens des nombres. Une version plus simple du problème ne demande pas s'il existe une infinité de paires de nombres premiers avec un écart de deux, mais s'il existe une infinité de paires de nombres premiers qui ont tous le même écart, quelle que soit leur taille.
En 2013, le mathématicien Yitang Zhang, aujourd'hui à l'université Sun Yat-sen de Guangzhou, en Chine, a prouvé que la réponse est oui : certaines lacunes doivent se répéter une infinité de fois. Les mathématiciens ne savent pas qu'un écart de deux existe, mais Zhang a montré qu'un écart d'un certain nombre inférieur à 70 millions le sait, établissant ainsi le premier record pour la « petite limite d'écart principal ».
Les mathématiciens se sont rapidement relayés pour réduire ce chiffre. Plus ils peuvent le pousser vers le bas, plus ils sont proches de la résolution de la conjecture des jumeaux premiers. Au milieu de 2014, des efforts de collaboration massifs avaient ramené la limite à 246, ce qui signifie que les paires avec un écart égal ou inférieur à 246 doivent se répéter à l'infini. C'est là que le record s'est maintenu pendant une douzaine d'années.
Stadlmann a commencé à travailler intensivement sur le problème il y a environ deux ans, après avoir terminé son doctorat sous la direction de James Maynard à l'Université d'Oxford en Angleterre. (Maynard avait contribué à établir le précédent record et remporté la médaille Fields en 2022, en partie pour son travail sur les écarts principaux.) Stadlmann a assumé la formidable tâche d'essayer de mieux intégrer les techniques les plus récentes aux efforts antérieurs de Zhang.
Les deux approches utilisent une méthode de « tamis », qui filtre partiellement les nombres composés en utilisant différents poids, par exemple en filtrant les multiples de 2 plus fortement que les multiples de 3. Paradoxalement, cette idée de filtrage partiel offre une meilleure idée de la distribution des nombres premiers qu'un filtre complet ne le ferait. Stadlmann a déterminé les poids optimaux en rassemblant des régions d'espace de grande dimension où prédominent les différentes approches. Elle a dû calculer les volumes de ces régions avec seulement une idée approximative de leur apparence.
«Cela va bien au-delà de trouver une aiguille dans une botte de foin», explique Andrew Granville, théoricien des nombres à l'Université de Montréal.
Au début de l’été 2026, Stadlmann avait réussi à faire baisser le record du monde de 246 à 240. Avec le temps, les théoriciens des nombres s’accordent à dire que ses méthodes auraient pu être meilleures. Malheureusement, elle n'a pas eu le temps.
À la mi-août, Stadlmann a commencé à entendre des rumeurs selon lesquelles OpenAI prévoyait d'annoncer un nouveau résultat important sur les principaux écarts. Ford lui a dit : « Abandonnez tout ce que vous faites et mettez ce résultat dans les archives mathématiques de pré-impression. Diffusez-le. Même s'il s'améliore le lendemain, vous avez le dossier au moins pour une journée. »
Il s'est avéré que l'enregistrement a duré trois jours. Ce sera peut-être la dernière fois que ce record sera détenu par un humain.
Après que Stadlmann ait publié son résultat en ligne, les chercheurs d'Axiom Math, qui vérifiaient les preuves publiées en 2013 et 2014, ont réorienté leurs énergies et incorporé ses nouvelles idées dans une IA prouvant les théorèmes. Au cours des trois jours suivants, après des nuits blanches, les chercheurs d'Axiom ont ramené la limite à 212, une bonne estimation de ce que Stadlmann aurait pu réaliser avec plus de temps et de ressources informatiques.
Pendant ce temps, OpenAI travaillait sur un problème étroitement lié qui demande les plus grands écarts entre les nombres premiers au lieu des plus petits. L'équipe l'avait utilisé comme référence pour présenter les capacités de résolution de problèmes de son nouveau grand modèle de langage, GPT-6 Astra. Selon Sébastien Bubeck, informaticien d'OpenAI, l'équipe explorait également le problème des petits écarts, une sorte de complément car les mathématiciens de l'entreprise s'y intéressaient. Astra a ramené le record à 186, a rapporté OpenAI dans un article accompagnant la sortie du modèle le 3 septembre.
Bubeck affirme qu'OpenAI n'a pas l'intention de pousser plus loin ses travaux sur le problème des écarts principaux. « Notre objectif n'est pas de frapper de manière préventive et de capturer tous les résultats possibles », explique Bubeck. « Notre stratégie consiste à responsabiliser le mathématicien. »
Mais une controverse s’est rapidement ensuivie au sein de la communauté mathématique.
Mathématiques pour comprendre
Personne ne conteste l’idée selon laquelle l’IA peut être un outil mathématique incroyablement utile. «La semaine dernière, j'ai fait une épreuve en deux heures, ce qui m'aurait pris un mois auparavant», explique Granville. L’IA peut parcourir une vaste littérature plus rapidement qu’un humain, identifier les impasses plus rapidement et essayer de nombreuses autres combinaisons d’idées.
Mais l’IA soulève également de nombreuses questions : qui aura accès à ces outils ? Combien coûteront-ils ? Quelle est la meilleure façon de donner un sens aux preuves générées par des machines, qui peuvent être remplies de « slops d’IA » que les humains ne peuvent pas comprendre immédiatement ? Comment la culture du domaine changera-t-elle si un ordinateur peut intervenir et rendre le travail de quelqu'un immédiatement obsolète ?
Bien que Stadlmann affirme ne pas se sentir maltraitée, de nombreux mathématiciens étaient contrariés par le fait qu'OpenAI travaillait sur le même problème que Stadlmann sans l'en informer. Généralement, en mathématiques, les universitaires prennent du recul si d’autres, en particulier des chercheurs moins expérimentés, travaillent déjà sur un problème. Alternativement, ils pourraient tendre la main pour collaborer. « Je ne pense pas qu'OpenAI ait soigneusement réfléchi à la manière dont ils l'ont traitée », déclare Granville.
OpenAI dit qu'ils étaient en contact avec Maynard, mais qu'ils n'ont pas contacté directement Stadlmann.
Les mathématiciens sont maintenant en train de digérer l'article d'OpenAI et la stratégie qui a rendu le nouveau record possible. « Je ne m'intéresse pas tellement au nombre exact, mais je suis très intéressé par les idées mathématiques », explique Stadlmann.
C’est cette quête d’idées qui, craignent les mathématiciens, sera perdue lorsque l’IA se déchaînera sur des énigmes non résolues. Pour des problèmes comme ceux-ci, note Tao, qui a collaboré à de précédentes petites initiatives visant à combler les lacunes, la valeur ne réside pas dans la réponse, mais dans ce qui ressort de la lutte. En cours de route, les mathématiciens développent des techniques, de nouvelles façons de penser les problèmes et une compréhension plus profonde des mathématiques dans leur ensemble, qui ne peuvent être transmises par un seul nombre comme 186.
«J'adore le processus de résolution de problèmes», déclare Ford. « Nous cogner la tête contre le mur, être frustré, et tout d'un coup voir l'idée qui fonctionne. » Il craint qu’à mesure que l’IA supprime cela, les jeunes talentueux décident de ne pas se lancer dans ce domaine. Les futurs chercheurs pourraient être découragés de s’intéresser à des problèmes pour lesquels une machine peut les surpasser. « Cela serait extrêmement préjudiciable, dit-il, non seulement aux mathématiques mais aussi à la science en général. »