À un non-mathématicien, avoir la lettre « I » représente un nombre qui n'existe pas tout à fait et qui est « imaginaire » peut être difficile à envelopper la tête. Si vous ouvrez votre esprit à cette façon de penser, cependant, un tout nouveau monde devient possible.
Je suis un mathématicien qui étudie l'analyse: un domaine de mathématiques qui traite des nombres complexes. Contrairement aux nombres réels les plus familiers – des entiers positifs et négatifs, des fractions, des racines carrées, des racines cubes et même des nombres tels que PI – les nombres complexes ont une composante imaginaire. Cela signifie qu'ils sont faits à la fois des nombres réels et du numéro imaginaire I: la racine carrée de négatif 1.
N'oubliez pas qu'une racine carrée d'un nombre représente un nombre dont le carré est le numéro d'origine. Un nombre positif en lui-même est un nombre positif. Un nombre négatif en lui-même est un nombre positif. Le nombre imaginaire que je représente un nombre qui, en quelque sorte, est multiplié par lui-même, est négatif.
Les conversations sur les nombres imaginaires avec un non-mathématicienne conduisent souvent à des objections comme: « Mais ces chiffres n'existent pas vraiment, n'est-ce pas? » Si vous êtes l'un de ces sceptiques, vous n'êtes pas seul. Même les géants mathématiques ont trouvé des nombres complexes difficiles à avaler. D'une part, appeler – √1 « imaginaire » ne fait aucune faveur pour aider les gens à comprendre que ce n'est pas fantastique. Le mathématicien Girolamo Cardano, dans son livre de 1545 traitant de nombres complexes, « Ars Magna », les a rejetés comme « subtiles qu'ils sont inutiles ». Même Leonhard Euler, l'un des plus grands mathématiciens, soi-disant calculé √ (-2) √ (-3) comme √6. La bonne réponse est –√6.
Au lycée, vous avez peut-être rencontré la formule quadratique, qui donne des solutions aux équations où la variable inconnue est au carré. Peut-être que votre professeur de lycée ne voulait pas faire face à la question de ce qui se passe quand (b2—4AC) – L'expression sous la racine carrée dans la formule quadratique – est négative. Ils auraient pu brosser cela sous le tapis comme quelque chose à gérer au collège.
Cependant, si vous êtes prêt à croire à l'existence de racines carrées de nombres négatifs, vous obtiendrez des solutions à un tout nouvel ensemble d'équations quadratiques. En fait, tout un monde étonnant et utile de mathématiques apparaît: le monde de l'analyse complexe.
Des nombres complexes simplifient d'autres domaines de mathématiques
Qu'obtenez-vous pour votre saut de foi en nombres complexes?
D'une part, la trigonométrie devient beaucoup plus facile. Au lieu de mémoriser plusieurs formules de trig compliquées, vous n'avez besoin que d'une seule équation pour toutes les gouverner: la formule 1740 d'Euler. Avec des compétences d'algèbre décentes, vous pouvez manipuler la formule d'Euler pour voir que la plupart des formules trigonométriques standard utilisées pour mesurer la longueur ou l'angle d'un triangle deviennent un cliché.
Le calcul devient également plus facile. En tant que mathématiciens Roger Cotes, René Descartes – qui a inventé le terme «nombre imaginaire» – et d'autres ont observé, des nombres complexes rendent les intégrales apparemment impossibles faciles à résoudre et à mesurer la zone sous des courbes complexes.
Les nombres complexes jouent également un rôle dans la compréhension de toutes les figures géométriques possibles que vous pouvez construire avec une règle et une boussole. Comme l'a noté les mathématiciens Jean-Robert Argand et Carl Friedrich Gauss, vous pouvez utiliser des nombres complexes pour manipuler des figures géométriques telles que les pentagones et les octagones.
Analyse complexe dans le monde réel
Une analyse complexe a de nombreuses applications au monde réel.
L'idée du mathématicien Rafael Bombelli d'effectuer des opérations algébriques telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division sur des nombres complexes permet de les utiliser dans le calcul.
De là, une grande partie de ce que les scientifiques utilisent en physique pour étudier les signaux – ou la transmission des données – se comportent plus gérables et compréhensibles. Par exemple, une analyse complexe est utilisée pour manipuler des ondelettes ou de petites oscillations dans les données. Ceux-ci sont essentiels pour éliminer le bruit dans un signal brouillé d'un satellite, ainsi que la compression d'images pour un stockage de données plus efficace.
Une analyse complexe permet aux ingénieurs de transformer un problème compliqué en un problème plus facile. Ainsi, il s'agit également d'un outil important dans de nombreux sujets de physique appliqués, tels que l'étude des propriétés électriques et fluides des structures compliquées.
Une fois qu'ils sont devenus plus à l'aise avec des nombres complexes, des mathématiciens célèbres comme Karl Weierstrass, Augustin-Louis Cauchy et Bernhard Riemann et d'autres ont pu développer une analyse complexe, créant un outil utile qui simplifie non seulement les mathématiques et les progrès des sciences, mais les rend également plus compréhensibles.
