Il y a deux ans, deux camarades de lycée ont chacun composé une merveille mathématique, une preuve trigonométrique du théorème de Pythagore. Maintenant, ils en dévoilent 10 autres.
Pendant plus de 2 000 ans, de telles preuves ont été considérées comme impossibles. Et pourtant, sans se laisser décourager, Ne'Kiya Jackson et Calcea Johnson ont publié leurs nouvelles épreuves le 28 octobre dans Mensuel mathématique américain.
« Certaines personnes ont l'impression qu'il faut passer des années dans le monde universitaire avant de pouvoir réellement produire de nouvelles mathématiques », explique le mathématicien Álvaro Lozano-Robledo de l'Université du Connecticut à Storrs. Mais, dit-il, Jackson et Johnson démontrent qu’« on peut faire sensation même en tant qu’étudiant du secondaire ».
Jackson est maintenant étudiant en pharmacie à l'Université Xavier de Louisiane à la Nouvelle-Orléans, tandis que Johnson étudie l'ingénierie environnementale à l'Université d'État de Louisiane à Baton Rouge.
Les preuves mathématiques sont des séquences d'énoncés qui démontrent qu'une affirmation est vraie ou fausse. Théorème de Pythagore – un2 + b2 =c2reliant la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle à celles de ses deux autres côtés – a été prouvé à plusieurs reprises en algèbre et en géométrie (SN : 02/04/03).
Mais en 1927, le mathématicien Elisha Loomis affirmait que cet exploit ne pouvait être réalisé en utilisant les règles de la trigonométrie, un sous-ensemble de la géométrie qui traite des relations entre les angles et les longueurs des côtés des triangles. Il croyait que le théorème de Pythagore était si fondamental pour la trigonométrie que toute tentative basée sur la trigonométrie pour prouver le théorème devrait d'abord supposer qu'il était vrai, recourant ainsi à la logique circulaire.
Jackson et Johnson ont conçu la première de leurs preuves basées sur la trigonométrie en 2022, alors qu'ils étaient étudiants à la St. Mary's Academy de la Nouvelle-Orléans, une école catholique fréquentée principalement par de jeunes femmes noires. À cette époque, il n'existait que deux autres preuves trigonométriques du théorème de Pythagore, présentées par les mathématiciens Jason Zimba et Nuno Luzia en 2009 et 2015, respectivement. Travailler sur les premières épreuves « a déclenché le processus créatif », explique Jackson, « et à partir de là, nous avons développé des épreuves supplémentaires ».
Après avoir officiellement présenté leurs travaux lors d’une réunion de l’American Mathematical Society en mars 2023, le duo a décidé de publier leurs résultats dans une revue à comité de lecture. « Cela s'est avéré être la tâche la plus ardue de toutes », ont-ils déclaré dans le journal. En plus d’écrire, le duo a dû développer de nouvelles compétences, tout en entrant à l’université. « Apprendre à coder en LaTeX [a typesetting software] Ce n'est pas si simple lorsque vous essayez également d'écrire un essai de 5 pages avec un groupe et de soumettre une analyse de données à un laboratoire », ont-ils écrit.
Néanmoins, ils étaient motivés pour terminer ce qu’ils avaient commencé. «Il était important pour moi que nos épreuves soient publiées afin de confirmer que notre travail est correct et respectable», explique Johnson.
Selon Jackson et Johnson, les termes trigonométriques peuvent être définis de deux manières différentes, ce qui peut compliquer les efforts visant à prouver le théorème de Pythagore. En se concentrant sur une seule de ces méthodes, ils ont développé quatre preuves pour des triangles rectangles avec des côtés de longueurs différentes et une pour des triangles rectangles avec deux côtés égaux.
Parmi celles-ci, une preuve ressort pour Lozano-Robledo. Dans ce document, les élèves remplissent un plus grand triangle avec une séquence infinie de triangles plus petits et utilisent le calcul pour trouver les longueurs des côtés du plus grand triangle. « Cela ne ressemble à rien de ce que j'ai jamais vu », déclare Lozano-Robledo.
Jackson et Johnson laissent également cinq autres épreuves « pour que le lecteur intéressé les découvre », ont-ils écrit. L'article comprend un lemme – une sorte de tremplin pour prouver un théorème – qui « fournit une direction claire vers les preuves supplémentaires », dit Johnson.
Maintenant que les preuves sont publiées, « d’autres personnes pourraient prendre l’article et généraliser ces preuves, ou généraliser leurs idées, ou utiliser leurs idées d’une autre manière », explique Lozano-Robledo. « Cela ouvre simplement beaucoup de conversations mathématiques. »
Jackson espère que la publication du journal inspirera d'autres étudiants à « considérer que les obstacles font partie du processus. Tenez-vous-y, et vous pourriez vous retrouver à réaliser plus que vous ne le pensiez possible.
