Un éclat d'os lisse gravé avec des marques irrégulières datant de 20 000 ans d'archéologues perplexes jusqu'à ce qu'ils remarquent quelque chose d'unique – les gravures, des lignes comme des marques de décompte, peuvent avoir représenté des nombres premiers. De même, une tablette d'argile de 1800 avant notre ère inscrite avec des numéros babyloniens décrit un système numérique construit sur des nombres premiers.
En tant qu'os Ishango, la tablette Plimpton 322 et d'autres artefacts à travers l'histoire affichent, les nombres premiers ont fasciné et captivé les gens à travers l'histoire. Aujourd'hui, les nombres premiers et leurs propriétés sont étudiés dans la théorie des nombres, une branche des mathématiques et un domaine de recherche actif aujourd'hui.
Une histoire de nombres premiers
De manière informelle, un nombre de comptage positif supérieur à un est premier si ce nombre de points ne peut être organisé que dans un tableau rectangulaire avec une colonne ou une ligne. Par exemple, 11 est un nombre privilégié puisque 11 points forment uniquement des tableaux rectangulaires de tailles 1 par 11 et 11 par 1. Inversement, 12 n'est pas premier car vous pouvez utiliser 12 points pour faire un tableau de 3 par 4 points, avec plusieurs rangées et plusieurs colonnes. Les manuels de mathématiques définissent un nombre primaire comme un nombre entier supérieur à celui dont les seuls diviseurs positifs ne sont que 1 et lui-même.
L'historien de mathématiques Peter S. Rudman suggère que les mathématiciens grecs étaient probablement les premiers à comprendre le concept de nombres premiers, environ 500 avant notre ère,
Environ 300 avant notre ère, le mathématicien grec et logicien Euclide a prouvé qu'il y a une infinité de nombres premiers. Euclid a commencé en supposant qu'il y a un nombre fini de nombres premiers. Puis il a proposé un aperçu qui n'était pas sur la liste originale pour créer une contradiction. Étant donné qu'un principe fondamental des mathématiques est logiquement cohérent sans contradiction, Euclide a ensuite conclu que son hypothèse d'origine devait être fausse. Il y a donc une infinité de nombres premiers.
L'argument a établi l'existence de nombres premiers infiniment, mais il n'était pas particulièrement constructif. Euclid n'avait pas de méthode efficace pour énumérer tous les nombres premiers dans une liste ascendante.
Au Moyen Âge, les mathématiciens arabes ont avancé la théorie des Grecs des nombres premiers, appelés numéros Hasam pendant cette période. Le mathématicien persan Kamal al-Din al-Farisi a formulé le théorème fondamental de l'arithmétique, qui indique que tout entier positif plus grand que l'un peut être exprimé uniquement en tant que produit des nombres premiers.
De ce point de vue, les nombres premiers sont les blocs de construction de base pour construire tout nombre entier positif en utilisant la multiplication – Akin aux atomes se combinant pour fabriquer des molécules en chimie.
Les nombres premiers peuvent être triés en différents types. En 1202, Leonardo Fibonacci a présenté dans son livre « Liber Abaci: Book of Calcul » Prime Number of the Form (2p–1) où p est également primordial.
Aujourd'hui, les primes sous cette forme sont appelés Mersenne Prime après le moine français Marin Mersenne. Beaucoup des plus grands nombres premiers connus suivent ce format.
Plusieurs premiers mathématiciens croyaient qu'un certain nombre de la forme (2p–1) est premier chaque fois que P est primordial. Mais en 1536, le mathématicien Hudalricus Regius a remarqué que 11 est Prime mais pas (211–1), ce qui équivaut à 2047. Le nombre 2047 peut être exprimé comme 23 fois 89, réfutant la conjecture.
Bien que ce ne soit pas toujours vrai, les théoriciens du nombre ont réalisé que le (2p–1) Le raccourci produit souvent des nombres premiers et donne un moyen systématique de rechercher de grands nombres premiers.
La recherche de grands nombres premiers
Le nombre (2p–1) est beaucoup plus important par rapport à la valeur de P et offre des opportunités d'identifier les nombres premiers importants.
Lorsque le nombre (2p–1) devient suffisamment grand, il est beaucoup plus difficile de vérifier si (2p–1) est primordial – c'est-à-dire si (2p–1) Les points ne peuvent être disposés que dans un tableau rectangulaire avec une colonne ou une ligne.
Heureusement, Édouard Lucas a développé un test de nombre premier en 1878, prouvé plus tard par Derrick Henry Lehmer en 1930. Leur travail a abouti à un algorithme efficace pour évaluer les nombres premiers potentiels de Mersenne. En utilisant cet algorithme avec des calculs manuels sur papier, Lucas a montré en 1876 que le numéro à 39 chiffres (2127–1) équivaut à 170 141,183 460 469,231,731 687 303,715,884,105,727, et cette valeur est primordiale.
Également connue sous le nom de M127, ce nombre reste le plus grand premier vérifié par des calculs de main. Il a détenu le record du plus grand premier connu depuis 75 ans.
Les chercheurs ont commencé à utiliser des ordinateurs dans les années 1950 et le rythme de la découverte de nouveaux nombres premiers a augmenté. En 1952, Raphael M. Robinson a identifié cinq nouveaux nombres premiers de Mersenne en utilisant un ordinateur automatique occidental standard pour effectuer les tests de nombres premiers Lucas-Lehmer.
À mesure que les ordinateurs s'amélioraient, la liste des nombres premiers de Mersenne a augmenté, en particulier avec l'arrivée du supercalculateur Cray en 1964. Bien qu'il y ait une infinité de nombres premiers, les chercheurs ne savent pas combien de types correspondent au type (2p–1) et sont des nombres premiers de Mersenne.
Au début des années 1980, les chercheurs avaient accumulé suffisamment de données pour croire en toute confiance qu'il existe infiniment de nombreux nombres premiers de Mersenne. Ils pouvaient même deviner à quelle fréquence ces nombres premiers apparaissent en moyenne. Les mathématiciens n'ont pas trouvé de preuve jusqu'à présent, mais de nouvelles données continuent de soutenir ces suppositions.
George Woltman, un informaticien, a fondé la grande recherche sur Internet Mersenne Prime, ou GIMPS, en 1996. Grâce à ce programme de collaboration, tout le monde peut télécharger des logiciels disponibles gratuitement sur le site Web du GIMPS pour rechercher des nombres premiers de Mersenne sur leurs ordinateurs personnels. Le site Web contient des instructions spécifiques sur la façon de participer.
GIMPS a maintenant identifié 18 nombres premiers de Mersenne, principalement sur des ordinateurs personnels utilisant des puces Intel. Le programme fait en moyenne une nouvelle découverte sur un à deux ans.
Le plus grand premier connu
Luke Durant, un programmeur à la retraite, a découvert le record actuel du plus grand premier connu (2 (2136 279 841–1), en octobre 2024.
Référé M136279841, ce numéro de 41 024 320 chiffres était le 52e Mersenne Prime identifié et a été trouvé en exécutant GIMP sur un réseau informatique basé sur le cloud accessible au public.
Ce réseau a utilisé des puces Nvidia et a traversé 17 pays et 24 centres de données. Ces puces avancées fournissent un calcul plus rapide en gérant simultanément des milliers de calculs. Le résultat est des temps d'exécution plus courts pour les algorithmes tels que les tests de nombre premier.
L'Electronic Frontier Foundation est un groupe Civil Liberty qui propose des prix en espèces pour identifier les grands nombres premiers. Il a décerné des prix en 2000 et 2009 pour le premier nombre privilégié de 1 million et 10 millions de chiffres.
Les deux prochains défis des amateurs de premier nombre sont d'identifier les premiers nombres premiers et 1 milliard de chiffres de chiffres. Les prix EFF de 150 000 $ US et 250 000 $, respectivement, attendent le premier individu ou groupe réussi.
Huit des 10 nombres premiers connus les plus importants sont les nombres premiers de Mersenne, donc les GIMP et le cloud computing sont sur le point de jouer un rôle de premier plan dans la recherche de grands nombres premiers records.
Les grands nombres premiers ont un rôle essentiel dans de nombreuses méthodes de cryptage dans la cybersécurité, de sorte que chaque utilisateur d'Internet bénéficie de la recherche de grands nombres premiers. Ces recherches aident à protéger les communications numériques et les informations sensibles.
