Un problème mathématique résolu par Susanna Heikkilä se rapporte à la classification des 4-manifolds quaségulairement elliptiques, demandant quelles formes quatre dimensions peuvent être obtenues en déformant la géométrie euclidienne quatre dimensions. L'article de Heikkilä et Pekka Pankka a été publié dans le Annales de mathématiques journal.
En 1981, le mathématicien russe-français Misha Gromov, lauréat du prix Abel, a demandé si l'existence d'une cartographie quasi -gulaire est garantie si la cible est simplement liée, ce qui signifie que son groupe fondamental est trivial et ne constitue pas une obstruction. La question est restée ouverte jusqu'en 2019, lorsque Prywes a fourni un contre-exemple à quatre dimensions.
« Le résultat principal de ma thèse de doctorat complète la réponse à la question de Gromov, car le résultat peut être utilisé pour classer les variétés à quatre dimensions limitées simplement connectées pour lesquelles il existe une cartographie quasiregulaire d'un espace euclidien », explique la chercheuse postdoctorale Susanna Heikkilä.
Heikkilä, dont les passe-temps incluent le tricot, illustre également la question à travers un tissu tricoté. Le tricot a été achevé pour son examen public, où elle voulait décrire ses recherches en termes de laïque.
Le travail illustre la cartographie de l'avion à une sphère, connue sous le nom de carte Alexandre. Heikkilä a tricoté des plaques de différentes couleurs et les a assemblées en un motif d'échecs avec des carrés de différentes couleurs dans les coins. Une balle était également nécessaire avec des hémisphères supérieurs et inférieurs de couleur différemment. Lorsque la grille d'échecs est courbée autour de la balle avec les coins colorés attachés les uns aux autres, un écart est laissé entre les carrés. Cela résume l'idée de mappages quasi -gulaires: les lacunes peuvent être fermées en étirant le tissu.
Le chemin pour devenir mathématicien
Une carrière en mathématiques n'était pas encore claire dans l'esprit de Heikkilä dans l'école du secondaire supérieur général. Cependant, son professeur de forme, également professeur de mathématiques, a reconnu son talent et a suggéré qu'elle devrait étudier le sujet, c'est ainsi que Heikkilä s'est retrouvé sur le campus de Kumpula à l'Université d'Helsinki.
Ce n'est que dans sa deuxième année d'études, dans un cours de topologie dispensé par le professeur Pankka, que Heikkilä a vraiment commencé à s'intéresser aux mathématiques. Cela a commencé les années de collaboration qui ont abouti à l'article accompli.
Il était déjà clair au stade du maître que Heikkilä avait l'intention de poursuivre des études de troisième cycle, c'est pourquoi elle a vraiment mis son cœur à écrire sa thèse de maître sous la supervision de Pankka. L'effort a porté ses fruits, car la thèse en tant que telle était presque prête à être utilisée comme premier article pour une thèse de doctorat.
La thèse de la maîtrise de Heikkilä, intitulée « Cohomology restreinte des manifolds quasirégulaires elliptiques » a remporté le prix de la thèse de maîtrise décerné chaque année par l'Association académique pour les mathématiques et les sciences naturelles – Mal et les ingénieurs universitaires et architectes de la Finlande TEK Trade Union. Le prix attire l'attention sur l'étude des mathématiques, de la physique et de l'informatique, soulignant l'importance de ces sciences dans la société finlandaise.
« Avoir un superviseur de soutien et des collègues a rendu la recherche significative. J'ai également trouvé mon conjoint dans le même domaine, bien que nous ne parlons pas de mathématiques à la maison le soir », explique Heikkilä.
Au début de 2025, Heikkilä a commencé à travailler en tant que chercheur postdoctoral à l'Université de Jyväskylä et demande un financement supplémentaire, car elle souhaite continuer à étudier la théorie des mappages et courbes quasiregulaires.
Problèmes elliptiques quasi -gulaires
La géométrie quasiconformée étudie l'effet de la distorsion infinitésimale sur la forme des objets. Les mappages quasi -gulaires enquêtent sur les questions de couvrant dans la géométrie quasiconformale. Un exemple classique de ces questions est le résultat suivant basé sur le théorème d'uniformisation: les seules surfaces de Riemann qui admettent une cartographie holomorphe non triviale de l'ensemble du plan complexe sont une sphère bidimensionnelle et un tore bidimensionnel.
En particulier, il n'y a pas de tels mappages pour les surfaces du genre supérieur. Ce théorème suit le travail de Poincaré et Radón sur les surfaces de Riemann du début des années 1900. Aujourd'hui, ce résultat fait partie des bases des manuels sur les surfaces de Riemann.
Ce qui est particulièrement intéressant, c'est que ce résultat de cartographies conformes bidimensionnelles ne change pas même si ce qui est examiné, ce sont des mappages quasi -gulaires au lieu des mappages conformes. Dans des dimensions plus élevées, la géométrie conforme et quasiconform est radicalement différenciée. La combinaison du résultat de Martio, Rickman et Väisälä de 1971 avec le théorème de Zorich de 1968 montre que les seuls variétés rivaires connectés simples dans des dimensions plus élevées, pour lesquelles il existe une cartographie conforme à partir d'un espace euclidien, est l'espace euclidien lui-même et une sphère de dimension égale.
En revanche, des cartographies quasiregulaires peuvent être trouvées à partir d'un espace euclidien à plusieurs espaces différents. Ces variétés sont appelés «quasi-anthulairement elliptique».
En 1981, Gromov a demandé s'il y avait des variétés fermées et simplement connectées de dimensions plus élevées qui ne sont pas quasiregulaires elliptiques. Fondamentalement, Gromov a demandé s'il y avait une obstruction homologique aux variétés quasi-agulaires elliptiques. La première réponse partielle à cette question a été donnée par Bonk et Heinonen, en utilisant un argument de compacité basé sur la cohomologie De Rham des formes différentielles.
Eden Prywes a répondu de manière concluante la question de Gromov en 2019, démontrant que la cohomologie K-Th de Rham d'une manifold elliptique quasiregulaire fermée est au plus la cohomologie K -th de Rham du n-torus. Ce résultat conduit à la conclusion que les variétés fermées avec une grande cohomologie de Rham ne peuvent pas être quasiégulaires elliptiques.
« Le résultat que nous prouvons avec Heikkilä fournit une réponse algébrique à la question de Gromov. Heuristicalement, la réponse est la suivante: Pour qu'un collecteur fermé soit quasiégulairement elliptique, les intersections de ses sous-manifolds (en termes homologiques) doivent être réalisables simultanés. Le monomorphisme de la cohomologie de Rham de la manifold n fermé à l'algèbre extérieure de l'espace euclidien n-dimensionnel », explique le professeur Pankka.
Ce résultat algébrique peut être utilisé pour démontrer qu'il existe des variétés fermées ayant une petite cohomologie qui ne sont pas quasiregulaires elliptiques. Combinant ce résultat avec la construction de représentations de couvre-couvertures ramifiées par Piergallini et Zuddas ainsi que la classification des 4-manifolds fermés par Donaldson et Freedman fournit une classification pour les manifolds de qualité quasirégulaire résultant de la quantité à trois réseaux de deux deux sphères Espaces projectifs avec l'une ou l'autre orientation. Ceci conclut la recherche initiée par Seppo Rickman sur Fermer simplement connecté à 4-manifolds quaségulairement elliptiques.
