Construire la pleine valeur de PI a été un projet des milliers d'années en préparation, mais à quel point ce nombre infini avons-nous besoin, demande à notre chroniqueur de mathématiques Jacob Aron
Depuis des millénaires, les mathématiciens épinglent Pi
Qui a été la première personne à calculer PI? La première personne à réaliser que, accrochez-vous, lorsque vous divisez la circonférence d'un cercle par son diamètre, vous semblez toujours obtenir le même nombre, à savoir légèrement plus de 3? Nous ne saurons jamais exactement, bien sûr, mais c'est une supposition raisonnable qu'ils vivaient il y a environ 4000 ans.
Commençons par les anciens Égyptiens. Un papyrus daté de 1550 avant JC, qui semble être un manuel de mathématiques, donne des exemples pour 84 problèmes mathématiques. Connu par les érudits modernes comme le Rhind Papyrus mathématiqueson auteur, un scribe nommé Ahmose, lui a donné le titre brillant Directions pour connaître toutes les choses sombres.
Le problème 48 explique comment calculer la zone d'un cercle dans un carré. En supposant que le carré a des côtés de la longueur 9, et le diamètre du cercle est le même, il démontre que la zone du cercle doit être 64/81ths celle du carré. Étant donné que le carré a une superficie de 81, ce qui fait la zone du cercle 64. Ce n'est pas un calcul direct de Pi, mais si nous le branchons sur notre formule moderne pour la zone d'un cercle – πr², où le rayon (R) est la moitié du diamètre, ou 9/2 dans ce cas – nous obtenons π = 256/81 ou 3.16, ce qui est correct pour une place décimale. Pas mal.
Ahmose ne semble pas avoir trouvé les problèmes lui-même; Le document indique qu'il s'agit d'une copie d'un texte provenant de siècles plus tôt. Nous avons trouvé des estimations similaires, mais non identiques, dans les artefacts des anciens babyloniens et des sumériens, mais il semble que de tels calculs n'étaient pas universels – la Bible hébraïque, et à son tour l'Ancien Testament chrétien, décrit une piscine circulaire comme étant de 10 coudées de large et ayant un périmètre de 30 cubes, suggérant une valeur de 3 pour PI. Eh bien, c'est un début.
Ce n'est qu'à Archimède, qui vivait au 3ème siècle avant JC, que nous avons commencé à améliorer notre mesure de Pi. Alors qu'Ahmose plaçait un cercle à l'intérieur d'un carré pour calculer Pi, Archimède a adopté une approche plus sophistiquée. Il a mis son cercle dans un hexagone, puis un petit hexagone dans le cercle. En calculant les périmètres des deux hexagones, il pouvait placer une limite supérieure et inférieure sur le périmètre du cercle, et donc trouver une valeur minimale et maximale pour Pi.
Mais voici le morceau intelligent – Archimède ne s'est pas arrêté avec des hexagones. Il a fait le même truc avec des dodécagones, ou des polygones à 12 côtés, puis s'est déplacé vers des formes à 24 faces, 48 faces et enfin à 96 côtés. Chaque doublement du nombre de côtés a rapproché les polygones de l'approximation d'un cercle, donnant finalement une valeur de Pi entre 223/71 et 22/7, ou 3.1408 et 3.1429. Maintenant, nous avions deux décimales de PI – et vous pouvez reconnaître 22/7 comme une approximation commune pour sa valeur qui est encore utilisée aujourd'hui.
Pendant environ 1500 ans, la méthode d'Archimède a été le seul jeu en ville, bien que les gens aient réussi à augmenter la précision des estimations pour PI. Il s'agit notamment du mathématicien chinois Zu Chongzhi, qui au 5ème siècle après JC a utilisé un polygone de 24 576 côtés à approximativement entre 3,1415926 et 3.1415927, et Jamshid al-Kashi, un mathématicien persan qui en 1424 a calculé Pi à 16 endroits décimaux en utilisant un polygon avec plus de 800 millions de côtés. L'objectif d'Al-Kashi à l'époque était de pouvoir calculer la circonférence de la sphère céleste (essentiellement, l'univers connu à l'époque) avec une erreur pas plus grande que celle de la largeur d'un seul cheval de cheval.
Les histoires de mathématiques passeront souvent directement d'Archimède à l'invention du calcul du XVIIe siècle, par Isaac Newton et Gottfried Leibniz, comme étape suivante sur le chemin de Pi, mais un développement important est venu plus tôt. Le mathématicien indien du 14ème siècle Mādhava de Sangamagrāma a été le premier à exprimer des fonctions trigonométriques – comme le cosinus et le sinus, que vous pouvez connaître comme des outils pour calculer les angles dans un triangle – comme des sommes infinies. Cela lui a permis de calculer leur valeur étape par étape, avec une précision toujours croissante, en calculant le prochain terme de la série.
Une de ces sommes, maintenant parfois connues sous le nom de série Mādhava-Leibniz en raison de leurs découvertes indépendantes, dit que π/ 4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9… et ainsi de suite pour l'infini. Cette série converge sur PI, mais incroyablement lentement – atteindre quatre décimales nécessite d'ajouter 5000 termes, tandis que 10 décimales sont un broyage de 5 milliards. Heureusement, Mādhava a développé des sommes infinies alternatives qui fonctionnaient beaucoup plus rapidement, informatique, Pi à 11 décimales – un record jusqu'à ce qu'Al-Kashi le bat.
L'exploration du stylo et du papier de l'IP s'est poursuivie pendant les prochains siècles. Une tentative qui mérite d'être notée est celle du mathématicien allemand Ludolph van Ceulen, qui a passé la majeure partie de sa vie sur le problème. Il a calculé PI à 20 décimales en 1596, en utilisant la méthode d'Archimède avec un polygone de plus de 32 milliards de côtés, et en 1621, après sa mort, sa femme a publié des détails sur son calcul 35 décimal en utilisant un polygone de plus de 4 quintilleurs. Cette valeur a également été inscrite sur sa pierre tombale.
Peu de temps après, il est devenu clair que le calcul était vraiment la voie à suivre, permettant à la création de toutes sortes de sommes infinies pour approximer Pi. En 1666, Newton en a trouvé un et l'a utilisé pour calculer PI à 15 décimales, écrivant plus tard: «J'ai honte de vous dire combien de chiffres j'ai porté ces calculs, n'ayant aucune autre entreprise à l'époque.»
Le mathématicien anglais John Machin est devenu le premier à briser la barrière 100 décimale en 1706, en utilisant une somme de sa propre création. Après cela, ces calculs basés sur la somme infinis étaient de plus en plus sujettes aux erreurs – le mathématicien français Thomas Fantet de Lagny a publié 127 décimales en 1719, en utilisant une méthode similaire à Machin, mais il s'est avéré que les 112 premiers étaient corrects. Le record a ensuite glissé jusqu'à 126 en 1789 et 152 en 1841, une fois que les erreurs ont été retirées.
William Shanks, un mathématicien anglais amateur, a été le dernier des pousseurs de crayons à tordre le jus de la formule de Machin. Shanks a dirigé un internat mais a consacré son temps libre au calcul. En 1853, il a publié 530 décimales de Pi, bien que les trois derniers soient erronés. Il a ensuite étendu cela à 707 décimales en 1873. Malheureusement, il n'avait pas repris son erreur antérieure, ce qui signifie que la plupart des chiffres supplémentaires étaient également mauvais.
Néanmoins, le record de 527 décimaux de Shanks ne serait pas battu avant l'invention de l'ordinateur – enfin, presque. En 1946, un DF Ferguson a écrit au Journal Nature pour souligner les erreurs dans les calculs de Shanks. Cela a conduit à une rafale de papiers de Ferguson dans le journal avec enthousiasme Tables mathématiques et autres aides au calcul Dans lequel lui et John W. Wrench, Jr a utilisé une calculatrice mécanique – un proto-ordinateur, si vous voulez – pour calculer les valeurs correctes, atteignant finalement 808 décimales.
Le premier calcul de PI sur un véritable ordinateur moderne a été effectué en utilisant littéralement le premier jamais fabriqué – l'intégrateur numérique électronique et l'ordinateur, ou ENIAC. (Exactement pourquoi il est considéré comme le premier ordinateur moderne est un article entièrement séparé, alors veuillez simplement me soucier!)
Construit en 1945 par l'armée américaine, Eniac a été utilisé pour un certain nombre de tâches sobres, notamment en calculant les effets de l'arme thermonucléaire. Mais en 1949, une équipe dirigée par le célèbre Polymathe John Von Neumann a obtenu la permission de l'utiliser pour le chiffre de numéro basé sur PI. Leurs efforts, exécutés plus de 70 heures du week-end prolongé de la fête du Travail (lorsque l'ordinateur ne serait autrement pas utilisé), a atteint 2037 décimales.
Au fur et à mesure que les ordinateurs progressaient, ils ont continué à battre des enregistrements – 100 000, 1 million, 10 millions – mais, jusqu'aux années 1970, ils ont tous utilisé des variantes de la méthode de Machin.
La fin du 20e siècle a vu une rafale de nouvelles formules développée, chacune utilisant des sommes infinies plus complexes que Machin, et beaucoup ont été inspirées par une somme infinie imaginée par l'approche du légendaire indien des mathématiques Srinivasa – son formule, tandis que son formule, il était généralement confronté, qui ne soit pas toujours rigoureux – décennies. Il n'y a également aucun enregistrement de lui qui l'utilise pour calculer tous les chiffres de Pi, ce qui aurait pu être négligé.
Une fois que les mathématiciens ont déniché son travail, cependant, il a tué la chasse à Pi. Il convient de noter en particulier une méthode inspirée de Ramanujan créée en 1988 par deux frères, Gregory et David Chudnovsky, qui ont été les premiers à atteindre 1 milliard de décimales.
La méthode de la paire est toujours utilisée aujourd'hui; Le record le plus récent a été établi en juin 2024 par StorageReview, une publication de tests de matériel informatique. L'équipe dit qu'elle a obtenu une décimale record de 202 billions à l'aide d'un ordinateur qui avait 28 lecteurs à l'état solide, chacun avec une capacité de stockage de plus de 60 téraoctets (TB) – l'ordinateur moyen a désormais un seul entraînement d'environ 1 To. Le calcul a duré 85 jours au total.
À ce stade, vous pourriez raisonnablement vous demander de combien plus de monde pourrait avoir besoin. Il y a quelques écoles de pensée. Pour tout calcul pratique, Al-Kashi n'était pas trop loin de la marque avec ses 16 décimales, aussi un peu plus de deux fois que – 37 décimales – se révèle suffisant pour calculer la circonférence de l'univers observable avec une précision équivalente à la largeur d'un atome d'hydrogène.
Mais comme le démontre la tentative de StorageReview, le calcul de Pi a pris un autre objectif: agir comme une sorte de marathon numéro de crunch pour mettre le matériel informatique à l'épreuve. Dans cet esprit, il n'y a potentiellement aucune limite au nombre de décimales que vous pourriez calculer de manière significative.
Et pourtant, il y a une autre vue. J'ai demandé au début de cet article qui était la première personne à calculer PI. Dans un sens, la réponse n'est personne, car elle n'a jamais été fait. Pi est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'il ne peut pas être exprimé comme le rapport de deux entiers, c'est pourquoi 22/7 ne peut être qu'une approximation. Il s'agit également d'un nombre transcendantal, ce qui signifie qu'il ne peut pas être exprimé comme une équation algébrique finie. Cela signifie que Pi est intrinsèquement infini, ses décimales sans fin, et nous ne pouvons jamais complètement calculer la vraie valeur de Pi.
