Vous participez à un échange de cadeaux de Noël avec quelques camarades de classe. Vous écrivez chacun votre propre nom sur un bout de papier et vous le pliez. Ensuite, tous les élèves placent leur nom dans un seul chapeau. Ensuite, les élèves tirent un nom au hasard du chapeau, un à la fois. Si, à un moment donné, quelqu'un retire son propre nom du chapeau, toute la classe recommence et chacun remet son nom sur le chapeau. Une fois le processus terminé, chaque élève achète un cadeau pour le camarade de classe dont il a tiré le nom. Les cadeaux sont distribués lors d'une grande fête de fin d'année.
Lors de cette fête, vous constatez qu’il y a des « boucles » de cadeaux au sein de la classe. Par exemple, l’élève A pourrait avoir reçu un cadeau pour B, qui a reçu un cadeau pour C, qui a reçu un cadeau pour D, qui a reçu un cadeau pour A. Dans ce cas, A, B, C et D formeraient une boucle de longueur quatre. Une autre façon d'obtenir une boucle de longueur quatre est si l'élève A a reçu un cadeau pour C, qui a reçu un cadeau pour B, qui a reçu un cadeau pour D, qui a reçu un cadeau pour A. Et bien sûr, il existe d'autres façons.
- S’il y a un total de trois élèves dans la classe, quelle est la probabilité qu’ils forment une seule boucle incluant toute la classe (c’est-à-dire une boucle de trois longueurs) ?
- S’il y a un total de quatre élèves dans la classe, quelle est la probabilité qu’ils forment une seule boucle incluant toute la classe ?
- S’il y a un total de cinq élèves dans la classe, quelle est la probabilité qu’ils forment une seule boucle incluant toute la classe ?
- S'il y a N élèves de la classe, où N est un grand nombre, quelle est la probabilité qu'ils forment une seule boucle incluant la classe entière, en termes de N?
