Il y a cinquante ans, «Fractal» est né.
Dans un livre de 1975, le mathématicien polonais-français-américain Benoit B. Mandelbrot a inventé le terme pour décrire une famille de formes rugueuses et fragmentées qui tombent en dehors des limites de la géométrie conventionnelle. Les mathématiciens décrivaient ces types de formes depuis la fin du XIXe siècle. Mais en leur donnant un nom – dérivé de fractusLatin pour «cassé» – Mandelbrot a donné de la valeur des fractales. Il a présenté un moyen de les mesurer et de les analyser. Avec un nom, il a reconnu l'ordre de complexité.
Si vous savez quelque chose sur les fractales, c'est probablement ceci: leur trait caractéristique est l'auto-similitude. Peu importe à quel point vous zoomez ou que vous sortez, vous trouvez des modèles similaires. Prenez un flocon de neige. La forme globale du cristal est répétée à des échelles de plus en plus petites à mesure que le flocon de neige se ramifie. (Un flocon de neige et d'autres formes naturelles ne sont considérés que «fractal comme», cependant, parce que le motif se décompose au niveau des molécules et des atomes.) Dans un clin d'œil à cette auto-similitude, Mandelbrot a souvent dit aux gens que son initiale centrale, B., était pour «Benoit B. Mandelbrot». Son nom complet devient donc «Benoit Benoit B. Mandelbrot Mandelbrot». Et épeler l'initiale du milieu entraîne à nouveau «Benoit Benoit Benoit B. Mandelbrot Mandelbrot Mandelbrot». Peu importe combien de fois vous itérez, vous le trouvez derrière son initiale centrale.
Les fractales peuvent prendre plusieurs formes – des lignes rugueuses, des formes dentelées ou des solides poreux. Ils se démarquent pour déviation de notre idée habituelle de dimension, définie avec désinvolture comme le nombre minimum de coordonnées nécessaires pour spécifier n'importe quel point à l'intérieur. Une ligne est unidimensionnelle, la zone à l'intérieur d'un cercle est bidimensionnelle, l'espace à l'intérieur d'une sphère est tridimensionnel.
Les fractales ne rentrent pas bien dans ces catégories, et Mandelbrot a introduit une définition mathématique de la dimension fractale, qui caractérise la rugosité d'une zone courbe ou d'une autre forme. Une forme connue sous le nom de flocon de neige Koch, par exemple, a une dimension fractale d'environ 1,2619.
Les motifs de type fractale sont omniprésents, se précipitant sur les bords des nuages ou les crêtes escarpées sur les montagnes. « Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les côtes ne sont pas des cercles », a écrit une fois Mandelbrot.
Les structures de type fractale apparaissent même dans le corps. «Si vous n'avez pas de réseau fractal de vaisseaux sanguins, nous mourrions probablement à chaque seconde, chaque fois que notre cœur bat, car c'est une pompe très puissante», explique Michel Lapidus, mathématicien à l'Université de Californie, Riverside et rédacteur en chef du chef de la Journal of Fractal Geometry. Une structure de ramification, dit-il, ralentit le flux et obtient le sang où il doit aller. Les formes de type fractale apparaissent également dans les cellules cancéreuses et les poumons.
Au cours du dernier demi-siècle, les fractales ont conduit les mathématiciens dans un terrain inconnu, comme le calcul fractal et l'algèbre fractale. Mais les fractales sont plus qu'un simple sous-champ de mathématiques. Leur rugosité caractéristique aide les scientifiques à visualiser le chaos et à modéliser l'évolution des systèmes changeants. Ils aident les ingénieurs à trouver de nouvelles conceptions pour des gadgets pratiques. Ils inspirent même des artistes et des musiciens.
Dans le monde des mathématiques, Lapidus, qui compte Mandelbrot en tant qu'ami et a été la dernière personne à lui parler avant sa mort en 2010, a déniché des liens profonds entre les fractales et le champ mathématique de la théorie des nombres. Lui et d'autres ont utilisé des fractales pour analyser le
Fonction Riemann Zeta, qui est connectée à la distribution des nombres premiers le long de la ligne numérique. L'hypothèse de Riemann, qui fait une revendication sur cette fonction, est largement considérée comme le problème non résolu le plus important dans toutes les mathématiques, et une structure fractale sous-jacente peut un jour figurer dans sa preuve.
Les fractales imprègnent également la société. Mandelbrot et d'autres soupçonnaient depuis longtemps que les marchés financiers pouvaient être modélisés avec des processus fractaux chaotiques, bien qu'il reste à prouver. Les chercheurs ont mesuré la dimension fractale des modèles d'égouttement dans les peintures de Jackson Pollock. Certaines compositions de Johann Sebastian Bach contiennent une auto-similitude de type fractale, car les combinaisons de notes individuelles longues et courtes se répètent à des échelles plus grandes, dans des phrases plus longues et plus courtes.
Bien que certains modèles fractaux fascinants puissent être considérés comme de l'art à part entière, ils peuvent également être une passerelle vers des innovations pratiques. «Cela commence par:« Oh, c'est vraiment intéressant que vous puissiez faire ces images compliquées », mais les mathématiciens sont attirés, bien au-delà des images», explique Michael Barnsley, mathématicien de l'Université nationale australienne à Canberra qui a été inspirée par des fractales pour concevoir une stratégie de compression d'image.
Barnsley a commencé à examiner les fractales dans les années 1980 parce qu'il était intéressé par la théorie du chaos, l'étude de l'évolution des processus aléatoires à partir de points de départ simples et déterministes. Il a reconnu que les images incluent souvent des détails auto-similaires – la façon dont une ligne traverse un pixel dans une partie d'une image peut être la même que dans un autre pixel.
De cette observation est venue une méthode de compression d'image qui pourrait réduire ou élargir des parties d'une image. Au début des années 1990, Microsoft a commencé à utiliser la méthode. Des conceptions d'inspiration fractale ont également été explorées pour le traitement du signal et l'analyse des données. Les antennes de type fractale avec des courbes tortueuses permettent une communication sur plusieurs fréquences et occupent une petite zone dans certains appareils sans fil.
Les fractales peuvent même s'avérer essentiels à la technologie la plus transformatrice d'aujourd'hui: l'IA. Barnsley soupçonne qu'en tant que sociétés d'IA, les entreprises se poursuivent pour améliorer les algorithmes et les architectures, ils reconnaîtront les avantages dans l'exploitation de l'auto-similitude. «Notre cerveau est à peu près un objet fractal», dit-il. Les connexions entre les neurones sont comme un système de ramification auto-similaire. « Et si vous allez arriver à la conscience, une conscience artificielle », dit-il, « il doit avoir un modèle auto-référentiel à l'intérieur. »
