En 1907, l'auteur et mathématicien anglais Henry Ernest Dudeney a posé un puzzle: un triangle équilatéral peut-il être coupé en aussi peu de pièces que possible qui s'adapteront pour former un carré parfait? Quatre semaines plus tard, il a présenté une solution élégante, montrant que seulement quatre pièces étaient nécessaires.
Ce processus de transformation d'une forme en une autre en coupant la première forme en morceaux et en les réorganisant est appelé dissection. Un défi clé dans les dissections est de minimiser le nombre de pièces nécessaires pour transformer une forme polygonale en une autre, un problème qui a des mathématiciens, des fabricants de puzzle et des résolveurs intrigués pendant des siècles.
Le puzzle de Dudeney reste l'un des problèmes de dissection les plus célèbres. Les problèmes de dissection intéressent non seulement les mathématiciens, mais ont également des applications pratiques dans des domaines tels que la conception textile, l'ingénierie et la fabrication. Depuis que Dudeney a posé sa solution pour la première fois il y a plus de 120 ans, une question persistante est restée: y a-t-il une meilleure solution qui nécessite de couper le triangle en moins de quatre pièces?
Dans une nouvelle étude, le professeur Ryuhei Uehara et le professeur adjoint Tonan Kamata, du Japon Advanced Institute of Science and Technology (JAIST), ainsi que le professeur Erik D. Demaine du Massachusetts Institute of Technology, ont finalement répondu à cette question. Ils ont prouvé que la solution originale de Dudeney était optimale.
« Plus d'un siècle plus tard, nous avons finalement résolu le puzzle de Dudeney en prouvant que le triangle et le carré équilatéral n'ont pas de dissection commune avec trois pièces polygonales ou moins », explique le professeur Uehara. « Nous avons atteint ceci en utilisant une nouvelle technique de preuve qui utilise des diagrammes correspondants. »
Leur étude a été publiée en préimpression sur le référentiel à accès libre arxiv le 5 décembre 2024, et présenté au 23e atelier LA / EATCS-Japan sur l'informatique théorique en janvier 2025.
Dans leur étude, les chercheurs se sont révélés un théorème clé: il n'y a pas de dissection entre un triangle équilatéral et un carré avec trois pièces ou moins, lorsque les pièces sont interdites. La solution originale de Dudeney n'a pas non plus impliqué de retourner. Pour établir cela, les chercheurs ont d'abord exclu la possibilité d'une dissection en deux pièces en analysant les contraintes géométriques du problème.
Ensuite, ils ont systématiquement exploré la possibilité d'une dissection en trois pièces. En utilisant les propriétés fondamentales de la dissection, ils ont rétréci les combinaisons réalisables des méthodes de coupe pour la dissection en trois pièces. Enfin, ils ont utilisé le concept d'un diagramme correspondant pour prouver rigoureusement qu'aucune de ces combinaisons pour les dissections en trois pièces n'était possible, prouvant donc qu'une dissection entre un triangle carré et un triangle équilatéral ne peut pas être réalisée avec trois pièces ou moins.
Le diagramme assorti a joué un rôle central dans sa preuve. Dans cette méthode, l'ensemble des pièces coupées utilisées dans la dissection est réduite à une structure graphique qui capture la relation entre les bords et les sommets des pièces, formant à la fois le triangle et le carré. Les chercheurs ont constaté que cette méthode est non seulement applicable au puzzle de Dudeney, mais peut également être appliquée généralement à d'autres problèmes de dissection.
« Le problème de la coupe et du réarrangement des formes aurait existé depuis que les humains ont commencé à traiter les peaux d'animaux pour fabriquer des vêtements. De tels problèmes sont également rencontrés dans n'importe quelle situation où des matériaux minces sont utilisés », explique le professeur Uehara. « Notre preuve ouvre de nouveaux horizons pour comprendre et résoudre les problèmes de dissection. »
Bien que de nombreux problèmes de dissection aient été résolus en trouvant des solutions avec un certain nombre de pièces, il n'y a jamais eu de preuve formelle montrant qu'une solution spécifique est optimale, en utilisant le moins de pièces possibles. La technique développée dans cette étude est la première à prouver une telle optimalité.
« Notre technique démontre qu'une dissection optimale est possible pour les problèmes de coupe et de réduction du monde réel. Avec un raffinement supplémentaire, cela pourrait également conduire à la découverte de solutions entièrement nouvelles aux problèmes de dissection », conclut le professeur Uehara.
