La conférence Mathematics and Machine Learning 2023 à Caltech met en lumière l’intégration croissante de l’apprentissage automatique dans les mathématiques, offrant de nouvelles solutions à des problèmes complexes et faisant progresser le développement d’algorithmes.
La conférence explore les liens naissants entre les deux domaines.
Traditionnellement, les mathématiciens notent leurs formules sur papier et crayon, à la recherche de ce qu’ils appellent des solutions pures et élégantes. Dans les années 1970, ils ont commencé, avec hésitation, à se tourner vers les ordinateurs pour les aider à résoudre certains de leurs problèmes. Des décennies plus tard, les ordinateurs sont souvent utilisés pour résoudre les énigmes mathématiques les plus difficiles. Aujourd’hui, dans le même esprit, certains mathématiciens se tournent vers apprentissage automatique des outils pour les aider dans leurs recherches numériques.
Adopter l’apprentissage automatique en mathématiques
« Les mathématiciens commencent à adopter l’apprentissage automatique », déclare Sergei Gukov, professeur John D. MacArthur de physique théorique et de mathématiques à Caltech, qui a organisé la conférence Mathematics and Machine Learning 2023, qui se déroulera à Caltech du 10 au 13 décembre.
« Certains mathématiciens sont peut-être encore sceptiques quant à l’utilisation de ces outils », explique Gukov. « Les outils sont malicieux et pas aussi purs que le papier et le crayon, mais ils fonctionnent. »
Apprentissage automatique : une nouvelle ère dans la résolution de problèmes mathématiques
L’apprentissage automatique est un sous-domaine de l’IA, ou intelligence artificielle, dans lequel un programme informatique est formé sur de grands ensembles de données et apprend à trouver de nouveaux modèles et à faire des prédictions. La conférence, la première organisée par le nouveau Centre Richard N. Merkin pour les mathématiques pures et appliquées, contribuera à combler le fossé entre les développeurs d’outils d’apprentissage automatique (les data scientists) et les mathématiciens. L’objectif est de discuter des manières dont les deux domaines peuvent se compléter.
Mathématiques et apprentissage automatique : une voie à double sens
«C’est une voie à double sens», déclare Gukov, directeur du nouveau centre Merkin, créé par Richard Merkin, administrateur de Caltech.
« Les mathématiciens peuvent nous aider à trouver de nouveaux algorithmes intelligents pour les outils d’apprentissage automatique comme ceux utilisés dans les programmes d’IA générative comme ChatGPT, tandis que l’apprentissage automatique peut nous aider à résoudre des problèmes mathématiques difficiles. »
Yi Ni, professeur de mathématiques à Caltech, prévoit d’assister à la conférence, bien qu’il affirme ne pas utiliser l’apprentissage automatique dans ses propres recherches, qui impliquent le domaine de la topologie et, en particulier, l’étude des nœuds mathématiques dans les dimensions inférieures. « Certains mathématiciens connaissent mieux ces outils avancés que d’autres », explique Ni. « Vous devez connaître quelqu’un qui est un expert en apprentissage automatique et prêt à vous aider. En fin de compte, je pense que l’IA pour les mathématiques deviendra un sous-domaine des mathématiques.
L’hypothèse de Riemann et l’apprentissage automatique
Selon Gukov, un problème difficile qui pourrait être résolu grâce à l’apprentissage automatique est connu sous le nom d’hypothèse de Riemann. Nommé d’après le mathématicien du XIXe siècle Bernhard Riemann, ce problème est l’un des sept problèmes du millénaire sélectionnés par le Clay Mathematics Institute ; un prix d’un million de dollars sera décerné pour la solution à chaque problème.
L’hypothèse de Riemann s’articule autour d’une formule connue sous le nom de fonction zêta de Riemann, qui regroupe des informations sur les nombres premiers. Si elle s’avère vraie, l’hypothèse fournirait une nouvelle compréhension de la façon dont les nombres premiers sont distribués. Les outils d’apprentissage automatique pourraient aider à résoudre le problème en fournissant une nouvelle façon d’exécuter davantage d’itérations possibles du problème.
Mathématiciens et apprentissage automatique : une relation synergique
« Les outils d’apprentissage automatique sont très efficaces pour reconnaître des modèles et analyser des problèmes très complexes », explique Gukov.
Ni convient que l’apprentissage automatique peut servir d’assistant utile. « Les solutions d’apprentissage automatique ne sont peut-être pas aussi belles, mais elles peuvent créer de nouvelles connexions », dit-il. « Mais il faut toujours un mathématicien pour transformer les questions en quelque chose que les ordinateurs peuvent résoudre. »
Théorie des nœuds et apprentissage automatique
Gukov a lui-même utilisé l’apprentissage automatique pour résoudre les problèmes liés à la théorie des nœuds. La théorie des nœuds est l’étude des nœuds abstraits, qui sont similaires aux nœuds que vous pourriez trouver sur un cordon de serrage, mais les extrémités des cordes sont fermées en boucles. Ces nœuds mathématiques peuvent être entrelacés de différentes manières, et les mathématiciens comme Gukov veulent comprendre leurs structures et leurs relations les unes avec les autres. Le travail a des relations avec d’autres domaines mathématiques tels que la théorie des représentations et l’algèbre quantique, et même la physique quantique.
En particulier, Gukov et ses collègues travaillent à résoudre ce qu’on appelle la conjecture lisse de Poincaré en quatre dimensions. La conjecture originale de Poincaré, qui est également un problème du millénaire, a été proposée par le mathématicien Henri Poincaré au début du 20e siècle. Le problème a finalement été résolu entre 2002 et 2003 par Grigori Perelman (qui a refusé son prix d’un million de dollars). Le problème consiste à comparer les sphères à certains types de variétés qui ressemblent à des sphères ; les variétés sont des formes qui sont des projections d’objets de dimension supérieure sur des dimensions inférieures. Gukov dit que le problème revient à demander : « Les objets qui ressemblent à des sphères sont-ils vraiment des sphères ?
La conjecture lisse de Poincaré à quatre dimensions soutient que, en quatre dimensions, toutes les variétés qui ressemblent à des sphères sont en réalité des sphères. Pour tenter de résoudre cette conjecture, Gukov et son équipe développent une approche d’apprentissage automatique pour évaluer ce qu’on appelle les nœuds de ruban.
« Notre cerveau ne peut pas gérer quatre dimensions, nous regroupons donc les formes en nœuds », explique Gukov. « Un ruban est l’endroit où la ficelle d’un nœud perce une partie différente de la ficelle en trois dimensions mais ne perce rien en quatre dimensions. L’apprentissage automatique nous permet d’analyser le « ruban » des nœuds, une propriété oui ou non des nœuds qui a des applications dans la conjecture lisse de Poincaré.
« C’est là que l’apprentissage automatique vient à la rescousse », écrivent Gukov et son équipe dans un article préimprimé intitulé « Recherche de rubans avec l’apprentissage automatique ». « Il a la capacité de rechercher rapidement de nombreuses solutions potentielles et, plus important encore, d’améliorer la recherche en fonction des « jeux » réussis auxquels il joue. Nous utilisons le mot « jeux » car les mêmes types d’algorithmes et d’architectures peuvent être utilisés pour jouer à des jeux de société complexes, comme le Go ou les échecs, où les objectifs et les stratégies gagnantes sont similaires à ceux des problèmes mathématiques.
L’interaction des mathématiques et des algorithmes d’apprentissage automatique
D’un autre côté, les mathématiques peuvent aider à développer des algorithmes d’apprentissage automatique, explique Gukov. Selon lui, un état d’esprit mathématique peut apporter de nouvelles idées au développement des algorithmes derrière les outils d’IA. Il cite Peter Shor comme exemple de mathématicien qui a apporté un éclairage sur les problèmes informatiques. Shor, diplômé de Caltech avec un baccalauréat en mathématiques en 1981, a mis au point ce que l’on appelle l’algorithme de Shor, un ensemble de règles qui pourraient permettre aux ordinateurs quantiques du futur de factoriser des entiers plus rapidement que les ordinateurs classiques, brisant ainsi le cryptage numérique. codes.
Les algorithmes d’apprentissage automatique d’aujourd’hui sont formés sur de grands ensembles de données. Ils parcourent des montagnes de données sur le langage, les images et bien plus encore pour reconnaître des modèles et établir de nouvelles connexions. Cependant, les data scientists ne savent pas toujours comment les programmes parviennent à leurs conclusions. Le fonctionnement interne est caché dans ce qu’on appelle une « boîte noire ». Une approche mathématique du développement des algorithmes révélerait ce qui se passe « sous le capot », comme le dit Gukov, conduisant à une compréhension plus approfondie de la façon dont les algorithmes fonctionnent et peuvent ainsi être améliorés.
« Les mathématiques, dit Gukov, sont un terrain fertile pour de nouvelles idées. »
La conférence aura lieu au Merkin Center, au huitième étage du Caltech Hall.
