Summer Haag et Clyde Kertzer, participant à un REU de la CU Boulder, ont réfuté la conjecture locale-globale de longue date en théorie des nombres en explorant les empilements de cercles apolliniens. Leurs recherches ont mis en évidence les aspects créatifs et inexplorés de l’exploration mathématique. Crédit : Issues.fr.com
Summer Haag et Clyde Kertzer ont fait l’actualité dans le monde des mathématiques alors qu’ils travaillaient sur un projet de recherche d’été.
Avant la fin de l’année universitaire 2022-2023, l’étudiant diplômé Summer Haag et le junior Clyde Kertzer recherchaient des opportunités de recherche d’été en mathématiques, leur sujet d’études.
C’est une REU (Research Experience for Undergrads) avec Katherine (Kate) Stange, professeure agrégée à CU Boulder au Département de mathématiques, et James Rickards, chercheur postdoctoral dans le même département, qui a retenu leur attention, car elle traitait d’un sujet. dans laquelle ils avaient tous deux un intérêt constant : la théorie des nombres.
« Au premier cycle, je savais que la théorie des nombres était ce que je voulais faire », explique Haag. « Quand j’ai vu Kate et James faire un REU sur la théorie des nombres, j’ai dit : « Celui-là ! Je veux celui-ci!' »
« J’ai suivi de nombreux cours de théorie des nombres ici à CU que j’ai vraiment appréciés », explique Kertzer, qui a retiré ses candidatures à d’autres REU lorsqu’il a été accepté dans celui de Stange et Rickards. « J’étais super excité. »
L’étudiant diplômé Summer Haag et le junior Clyde Kertzer ont participé à un REU axé sur la théorie des nombres à CU Boulder, dirigé par Katherine Stange et James Rickards. Leur exploration des empilements de cercles apolloniens a remis en question la conjecture local-global largement acceptée en mathématiques. Crédit : CU Boulder
Le REU explorerait une branche de la théorie des nombres appelée les empilements de cercles apolliniens, qui sont des fractales, ou des motifs sans fin, constitués de cercles infinis se touchant mais ne se chevauchant jamais.
Ni Haag ni Kertzer n’avaient beaucoup d’expérience dans le domaine des emballages circulaires.
«J’avais déjà vu des formes quadratiques et des inversions de Mobius, mais je ne les avais jamais vues concernant les empilements de cercles», explique Haag. «J’étais ravi d’apprendre ce genre de choses.»
«Je suis allé à la bibliothèque et j’ai acheté un livre, le seul livre que j’ai pu trouver sur les emballages circulaires, et j’ai commencé à lire», explique Kertzer.
Les étudiants de CU Boulder, Clyde Kertzer et Summer Haag, ont réfuté une conjecture de longue date en théorie mathématique des nombres au cours de leur expérience de recherche d’été. Crédit : CU Boulder
Espace à explorer
Au cours des premières semaines du REU, Stange et Rickards ont donné à Haag et Kertzer les informations de base dont ils auraient besoin pour le projet et leur ont appris à utiliser le code que Rickards avait développé pour collecter des données sur les emballages circulaires. Après cela, ils ont donné à Haag et Kertzer de la place pour explorer.
« Nous avons lancé une idée de projet amusante qui donnerait aux étudiants l’occasion de faire l’expérience de la recherche en collectant des données, en recherchant des modèles et en les prouvant », explique Stange. « Nous n’avions pas d’objectif très définitif. »
« Nous avions une longue liste de problèmes possibles à explorer », ajoute Rickards. « Il n’y avait pas de véritable objectif final en vue. »
Cependant, cela a changé lorsque les explorations de Haag et Kertzer ont produit des données remettant en question une conjecture mathématique bien connue.
La conjecture locale-globale, largement acceptée depuis près de deux décennies, prédit les courbures des cercles à l’intérieur d’un empilement de cercles. Selon cette conjecture, si un chercheur connaît les courbures de quelques cercles dans un emballage (les cercles « locaux »), ce chercheur peut alors prédire les courbures des cercles dans le reste de l’emballage (les cercles « globaux »).
À maintes reprises, les preuves semblaient soutenir la conjecture locale-mondiale, au point que presque tous ceux qui la connaissaient pensaient qu’elle était vraie.
«Même si cela n’avait pas été prouvé, il était presque certain que c’était vrai», explique Haag.
Katherine Stange (à gauche) et James Rickards, chercheurs à l’Université de Boulder, étudient la théorie des nombres, dont un aspect inclut les empilements de cercles apolliniens. Crédit : CU Boulder
Deux nombres au lieu d’un
Mais ensuite, en entrant des chiffres dans le code de Rickards, Haag et Kertzer ont décidé de faire quelque chose qui n’avait pas encore été fait. Au lieu de saisir un chiffre dans le code, ils en ont saisi deux et ont examiné les emballages résultants.
C’est à ce moment-là que les choses sont devenues intéressantes. Les nombres qui, selon la conjecture locale-globale, auraient dû apparaître ensemble dans les mêmes emballages ne l’ont pas été.
Stange compare la situation à une prison. C’était comme si les numéros censés être enfermés avaient creusé un tunnel alors que personne ne regardait et s’étaient enfuis.
Haag, Kertzer, Stange et Rickards savaient tous ce que ces données signifiaient pour la conjecture local-global, c’est pourquoi la réaction immédiate de Rickards fut de revérifier son code pour détecter les erreurs. Mais il n’y en avait pas. Le code était correct. En revanche, la conjecture local-mondial ne l’était pas.
Au cours des jours suivants, Stange et Rickards ont rassemblé une preuve de leurs découvertes, travaillant si vite, si fébrilement et si précisément que Haag et Kertzer ne pouvaient s’empêcher d’être inspirés.
«C’était vraiment impressionnant», déclare Kertzer. « C’est là que nous voulons être en tant que mathématiciens. »
Les quatre ont publié un article sur le serveur de préimpression arXiv avec un titre aussi clair que son contenu est révélateur : « La conjecture locale-globale sur les emballages du cercle apollinien est fausse ».
Pas mal pour un projet de recherche d’été.
Katherine Stange s’est associée à Daniel Martin, titulaire d’un doctorat en ingénierie, pour créer un motif pour un puzzle d’emballage en cercle apollinien découpé au laser dans du bois. Crédit : CU Boulder
Le côté ludique des mathématiques
Mais ce que Haag et Kertzer ont trouvé encore plus gratifiant que de réfuter une conjecture majeure et exceptionnelle, c’est de faire l’expérience directe du côté créatif de la recherche mathématique. Il n’y avait pas que des formules et des règles. C’était de l’intuition, de l’exploration, du jeu.
« Certains conseils que Kate m’a donnés me resteront gravés pendant un moment », se souvient Kertzer. « Si vous n’êtes pas sûr, suivez simplement votre nez. »
La recherche en mathématiques, explique Stange, « donne souvent l’impression d’explorer une jungle. Vous n’êtes pas sûr de ce que vous allez trouver, mais la créativité vient du fait de décider quelle feuille tourner, quel chemin emprunter, à quelles questions vous essayez de répondre et comment vous allez y répondre. Certaines des connaissances les plus profondes en mathématiques proviennent de sauts créatifs reliant des idées apparemment sans lien.
Heureusement pour Haag et Kertzer, il y a encore beaucoup de jungle à explorer.
«Certains de mes étudiants sont tellement confus que je souhaite faire des recherches en mathématiques», explique Haag. « Ils disent : « Les mathématiques ne sont-elles pas faites ? » Combien de questions pourraient éventuellement rester non résolues en mathématiques ? »
Haag sourit lorsqu’elle répond : « Il y en a tellement. »
