Les mathématiciens ont résolu un problème vieux de plusieurs décennies dans la théorie des nœuds, découvrant que lier deux nœuds ensemble peut réellement produire un nœud plus facile à détruire – le contraire de ce qui était attendu
Un problème noueux pour les mathématiciens a enfin une solution
Pourquoi démêler deux petits nœuds à désangler plus difficile que le démêler un gros? Étonnamment, les mathématiciens ont découvert que des nœuds plus grands et apparemment plus complexes créés en rejoignant deux plus simples ensemble peuvent parfois être plus faciles à défaire, invalidant une conjecture posée il y a près de 90 ans.
«Nous recherchions un contre-exemple sans vraiment s'attendre à en trouver un, car cette conjecture existait depuis si longtemps», explique Mark Brittenham à l'Université du Nebraska à Lincoln. «À l'arrière de nos têtes, nous pensions que la conjecture était probablement vraie. C'était très inattendu et très surprenant.
Des mathématiciens comme Brittenham Student noue en les traitant comme des boucles enchevêtrées avec des extrémités jointes. L'un des concepts les plus importants de la théorie du nœud est que chaque nœud a un nombre de non-nœuds, qui est le nombre de fois que vous devrez rompre la chaîne, déplacer un autre morceau de la boucle à travers l'espace, puis rejoindre les extrémités avant d'atteindre un cercle sans pas de passages du tout – connu sous le nom de «Unknot».
Le calcul des nombres de désactif peut être une tâche très intensive en calcul, et il y a encore des nœuds avec aussi peu que 10 traversées qui n'ont pas de solution. Pour cette raison, il peut être utile de décomposer les nœuds en deux nœuds plus simples ou plus pour les analyser, avec ceux qui ne peuvent pas être divisés davantage connues sous le nom de nœuds de premier ordre, analogues aux nombres premiers.
Mais un mystère de longue date est de savoir si le nombre de non-nœuds des deux nœuds accordés vous donnerait le nombre de non-nœud du nœud plus grand. Intuitivement, il pourrait être logique qu'un nœud combiné soit au moins aussi difficile à défaire que la somme de ses parties constituantes, et en 1937, il a été conjecturé que l'annulation du nœud combiné ne pourrait jamais être plus facile.
Maintenant, Brittenham et Susan Hermiller, également à l'Université du Nebraska à Lincoln, ont montré qu'il y a des cas où ce n'est pas vrai. «La conjecture existe depuis 88 ans et comme les gens continuent de ne rien trouver de mal, les gens espèrent plus que ce soit vrai», explique Hermiller. « Tout d'abord, nous en avons trouvé un, puis rapidement, nous avons trouvé infiniment de nombreuses paires de nœuds pour lesquels la somme connectée avait des nombres de désabonnement qui étaient strictement inférieurs à la somme du nombre de non-noix des deux pièces. »
«Nous avons montré que nous ne comprenons pas aussi bien les chiffres de désabonner presque bien que nous l'avions fait», explique Brittenham. « Il pourrait y avoir – même pour les nœuds qui ne sont pas des sommes connectées – des moyens plus efficaces que nous ne l'avons jamais imaginé pour les déshabiller. Notre espoir est que cela a vraiment ouvert une nouvelle porte pour que les chercheurs commencent à explorer. »
Un exemple de nœud plus facile à annuler que ses parties constituantes
Bien que la recherche et la vérification des contre-exemples impliquaient une combinaison de connaissances, d'intuition et de puissance de calcul existantes, la dernière étape de la vérification de la preuve a été effectuée de manière résolument plus simple et pratique: le nœud avec un morceau de corde et le démêler physiquement pour montrer que le nombre de désincréation prévu des chercheurs était correct.
Andras Juhasz à l'Université d'Oxford, qui a auparavant travaillé avec la société d'IA Deepmind pour prouver une conjecture différente de la théorie des nœuds, dit que lui et la société avaient essayé sans succès de retirer ce dernier problème sur les ensembles additifs de la même manière, mais sans chance.
«Nous avons passé au moins un an ou deux à essayer de trouver un contre-exemple et sans succès, nous avons donc abandonné», explique Juhasz. « Il est possible que pour trouver des contre-exemples qui sont comme une aiguille dans une botte de foin, l'IA n'est peut-être pas le meilleur outil. C'était un contre-exemple difficile à trouver, je crois, parce que nous avons cherché assez dur. »
Bien qu'il y ait de nombreuses applications pratiques pour la théorie des nœuds, de la cryptographie à la biologie moléculaire, Nicholas Jackson à l'Université de Warwick, au Royaume-Uni, hésite à suggérer que ce nouveau résultat peut être mis à profit. «Je suppose que nous comprenons maintenant un peu plus sur le fonctionnement des cercles en trois dimensions qu'auparavant», dit-il. « Une chose que nous n'avons pas vraiment bien compris il y a quelques mois est maintenant un peu mieux compris. »
