Un mathématicien de Sydney UNSW a découvert une nouvelle méthode pour relever le plus ancien défi de l'algèbre: résoudre des équations polynomiales plus élevées.
Les polynômes sont des équations impliquant une variable soulevée en pouvoirs, comme le degré deux polynômes: 1 + 4x – 3x2 = 0.
Les équations sont fondamentales pour les mathématiques ainsi que les sciences, où elles ont des applications générales, comme aider à décrire le mouvement des planètes ou à écrire des programmes informatiques.
Cependant, une méthode générale pour résoudre les équations polynomiales « d'ordre supérieur », où X est élevé à la puissance de cinq ou supérieurs, s'est historiquement prouvé insaisissable.
Maintenant, le professeur honoraire de l'UNSW, Norman Wildberger, a révélé une nouvelle approche utilisant de nouvelles séquences de nombres, décrites dans Le mensuel mathématique américain Journal, avec l'informaticien du Dr Dean Rubine.
« Notre solution rouvre un livre précédemment fermé en histoire des mathématiques », explique le professeur Wildberger.
Le problème polynomial
Les solutions aux deux polynômes de diplôme existent depuis 1800 avant JC, grâce à la «méthode de réalisation des Babyloniens pour terminer la place», qui a évolué en la formule quadratique familière à de nombreux élèves de mathématiques du secondaire. Cette approche, en utilisant des racines de nombres appelées «radicaux», a ensuite été étendue pour résoudre les polynômes à trois et quatre degrés au XVIe siècle.
Puis, en 1832, le mathématicien français Évariste Galois a montré comment la symétrie mathématique derrière les méthodes utilisées pour résoudre les polynômes d'ordre inférieur est devenue impossible pour les polynômes de degré cinq et plus. Par conséquent, a-t-il pensé, aucune formule générale ne pouvait les résoudre.
Des solutions approximatives pour les polynômes à haut degré ont depuis été développées et sont largement utilisées dans les applications, mais le professeur Wildberger dit que ceux-ci n'appartiennent pas à l'algèbre pure.
Rejet radical derrière une nouvelle méthode
Le problème, dit-il, réside dans l'utilisation par la formule classique des troisième ou quatrième racines, qui sont des radicaux.
Les radicaux représentent généralement des nombres irrationnels, qui sont des décimales qui s'étendent à l'infini sans répéter et ne peuvent pas être écrites comme de simples fractions. Par exemple, la réponse à la racine en cubes de sept, 3√7 = 1,9129118… s'étend pour toujours.
Le professeur Wildberger dit que cela signifie que la vraie réponse ne peut jamais être complètement calculée car « vous auriez besoin d'une quantité infinie de travail et d'un disque dur plus grand que l'univers ».
Alors, quand nous supposons 3√7 « existe » dans une formule, nous supposons que cette décimale infinie et sans fin est en quelque sorte un objet complet.
C'est pourquoi, le professeur Wildberger dit qu'il « ne croit pas en nombre irrationnel ».
Les nombres irrationnels, dit-il, comptent sur un concept imprécis d'infini et conduisent à des problèmes logiques en mathématiques.
Le rejet par le professeur Wildberger des radicaux a inspiré ses contributions les plus connues aux mathématiques, sa trigonométrie rationnelle et sa géométrie hyperbolique universelle. Les deux approches reposent sur des fonctions mathématiques telles que le carré, l'ajout ou la multiplication, plutôt que des nombres irrationnels, des radicaux ou des fonctions comme le sinus et le cosinus.
Sa nouvelle méthode pour résoudre les polynômes évite également les radicaux et les nombres irrationnels, en s'appuyant plutôt sur des extensions spéciales de polynômes appelés «séries de puissance», qui peuvent avoir un nombre infini de termes avec les pouvoirs de x.
En tronquant la série Power, le professeur Wildberger dit qu'ils ont pu extraire des réponses numériques approximatives pour vérifier que la méthode a fonctionné.
« L'une des équations que nous avons testées a été une célèbre équation cubique utilisée par Wallis au XVIIe siècle pour démontrer la méthode de Newton. Notre solution a fonctionné à merveille », a-t-il déclaré.
Nouvelle géométrie pour une solution générale
Cependant, le professeur Wildberger dit que la preuve de la méthode est, en fin de compte, basée sur la logique mathématique.
Sa méthode utilise de nouvelles séquences de nombres qui représentent des relations géométriques complexes. Ces séquences appartiennent à la combinatoire, une branche des mathématiques qui traite des modèles de nombres dans des ensembles d'éléments.
La séquence combinatoire la plus célèbre, appelée nombres catalans, décrit le nombre de façons de disséquer un polygone, qui est n'importe quelle forme avec trois côtés ou plus, en triangles.
Les chiffres ont des applications pratiques importantes, y compris dans les algorithmes informatiques, les conceptions de structure de données et la théorie des jeux. Ils apparaissent même en biologie, où ils sont utilisés pour aider à compter les schémas de pliage possibles des molécules d'ARN. Et ils peuvent être calculés en utilisant un simple polynôme à deux degrés.
« Les nombres catalans sont considérés comme intimement liés à l'équation quadratique. Notre innovation réside dans l'idée que si nous voulons résoudre des équations plus élevées, nous devons rechercher des analogues plus élevés des nombres catalans. »
Les travaux du professeur Wildberger étendent ces nombres catalans d'un réseau unidimensionnel à multidimensionnel en fonction du nombre de façons dont un polygone peut être divisé à l'aide de lignes non intexées.
«Nous avons trouvé ces extensions et montré comment, logiquement, ils conduisent à une solution générale aux équations polynomiales.
« Il s'agit d'une révision spectaculaire d'un chapitre de base de l'algèbre. »
Même le quintique – un polynôme de degré cinq – a maintenant des solutions, dit-il.
Mis à part l'intérêt théorique, dit-il, la méthode tient une promesse pratique pour la création de programmes informatiques qui peuvent résoudre des équations en utilisant la série algébrique plutôt que des radicaux.
« Il s'agit d'un calcul de base pour une grande partie des mathématiques appliquées, c'est donc une opportunité d'améliorer les algorithmes dans un large éventail de domaines. »
Facettes inexplorées de Geode
Le professeur Wildberger dit que le nouvel éventail de nombres, que lui et le Dr Rubine ont appelé la «géode», détient également un vaste potentiel de recherche plus approfondie.
«Nous présentons cette gamme fondamentalement nouvelle de nombres, la géode, qui étend les numéros catalan classiques et semblent les sous-tendre.
«Nous nous attendons à ce que l'étude de ce nouveau réseau de géode soulève de nombreuses nouvelles questions et occupera les combinators occupés pendant des années.
« Vraiment, il y a tellement d'autres possibilités. Ce n'est que le début. »
