Ces équations centuriques prédisent le fluide qui coule – jusqu'à ce qu'ils ne

Nous utilisons les équations de Navier-Stokes chaque jour, pour des applications, de la construction de roquettes à la conception de médicaments. Mais parfois ils se brisent – et nous ne savons pas pourquoi

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Les équations de Navier-Stokes sont utilisées pour modéliser l'écoulement des fluides depuis près de 200 ans – mais nous ne les comprenons toujours pas vraiment. Cela peut souvent être un peu étrange, d'autant plus que nous comptons chaque jour sur ces équations pour aider à construire des roquettes, à concevoir des médicaments et à comprendre le changement climatique. Mais c'est là que vous devez penser comme un mathématicien.

Les équations fonctionnent. Nous ne pourrions pas les utiliser pour une si large gamme d'applications si elles ne le faisaient pas. Mais juste parce que quelque chose fonctionne et que nous savons comment l'utiliser ne signifie pas que nous comprendre il.

Il n'est en fait pas trop différent de nombreux algorithmes d'apprentissage automatique. Nous savons comment les configurer, nous écrivons du code pour les former et nous voyons ce qu'ils publient. Mais une fois que nous appuyons sur Go, ils prennent leur propre vie et utilisent les méthodes qu'ils peuvent dans la recherche d'optimisation de leurs résultats. C'est pourquoi nous utilisons souvent le terme «boîte noire» pour décrire les étapes entre l'entrée et la sortie – nous ne comprenons pas exactement ce que font les algorithmes, nous savons simplement que cela fonctionne.

Et c'est aussi ce qui se passe avec les équations de Navier-Stokes. Nous avons une meilleure idée de ce qui se passe sous le capot que de nombreux programmes d'apprentissage automatique – car un certain nombre d'incroyables solveurs de dynamique de fluide de calcul peuvent en témoigner – mais pour une raison quelconque, dans certaines situations, ces équations se cassent. Ils ne font que produire des bêtises. Et comprendre pourquoi cela se produit est l'un des problèmes de prix du millénaire, l'ancien des sept, maintenant six problèmes les plus difficiles non résolus en mathématiques modernes. Cela signifie que la résolution des anomalies de Navier-Stokes vaut une récompense de 1 million de dollars.

Pour comprendre le problème, examinons d'abord les équations de Navier-Stokes elles-mêmes – en particulier, les versions utilisées pour modéliser la dynamique d'un «fluide newtonien incompressible». C'est un fluide comme l'eau – quelque chose qui, contrairement à l'air, ne peut pas être écrasé très facilement. (Il existe une version plus générale des équations, mais c'est la version avec laquelle j'ai passé quatre ans à travailler pour terminer ma thèse de doctorat, et c'est donc la version que je vous présenterai ici.)

Les équations montrées ci-dessus semblent certes légèrement terrifiantes, mais elles sont dérivées de deux lois bien compris de l'univers: la conservation de la masse et la deuxième loi du mouvement de Newton. Par exemple, la première équation – où u est la vitesse d'une parcelle de liquide – indique mathématiquement si le fluide se déplace et change de forme mais n'a rien ajouté ou enlevé, alors sa masse reste inchangée.

La deuxième équation est une façon assez compliquée d'exprimer le célèbre de Newton F = MAappliqué à une parcelle fluide avec densité (Rho ou ρ). Plus précisément, le taux de variation de l'élan linéaire de notre liquide (illustré par le côté gauche de l'équation) est égal à la force qui lui est appliquée (le côté droit de l'équation). Le terme sur le côté gauche est essentiellement l'accélération des temps de masse. Cela laisse les termes sur le côté droit – pression (P), viscosité (μ) et forces corporelles (F) – pour représenter les forces agissant sur le fluide.

Jusqu'ici, tout va bien. Les équations sont dérivées de deux lois très sensibles et très robustes de l'univers. Et comme mentionné précédemment, les équations de Navier-Stokes fonctionnent incroyablement bien. Jusqu'à ce qu'ils ne le fassent pas.

Prenez cette configuration – l'écoulement d'un fluide 2D autour d'un angle droit. Le fluide s'approche du coin, est obligé de tourner par la forme du canal et se poursuit sur son chemin. Vous pouvez construire une version de cette expérience en laboratoire et la regarder se dérouler sous vos yeux – et en effet, de nombreux laboratoires du monde entier l'ont fait. Ce n'est pas particulièrement excitant: le fluide coule au coin de la rue et le monde continue de tourner.

Mais que se passe-t-il lorsque vous essayez de résoudre cette situation avec les équations de Navier-Stokes? Eh bien, les équations modélisent le flux de tout ce qui se comporte comme un fluide, et étant donné une configuration initiale, ils vous diront comment la vitesse, la pression, la densité et d'autres traits évolueront avec le temps. Nous entrons donc la configuration, et qu'obtenons-nous? La sortie nous indique que la vitesse au coin est infinie. Pas seulement extrêmement grand, mais en fait infini.

Quoi? De toute évidence, ce n'est pas vrai. Je peux personnellement attester d'avoir regardé cette expérience exacte, et rien de fâcheux ne s'est produit. Alors, que se passe-t-il? Nous avons en quelque sorte réussi à briser les équations. Et c'est vraiment là que les mathématiciens sont excités…

Presque chaque fois que je visite une école et que je parle aux étudiants en train de postuler à l'université, ils me posent naturellement des questions sur le processus d'admission à Oxford et Cambridge (je réalise les entretiens d'admission dans les deux universités chaque année). J'explique que j'ai une liste de choses que je recherche chez un candidat fort, mais l'un des plus importants est la capacité de «penser comme un mathématicien». Et c'est exactement ce que je veux dire quand je dis que briser les équations est ce qui intéresse vraiment les mathématiciens.

Si une équation ou un modèle fonctionne dans 99,99% des cas – et qu'il produit des résultats pratiques utiles qui peuvent être utilisés pour résoudre des problèmes du monde réel – alors il réussit incroyablement. C'est pourquoi, malgré parfois la rupture, les équations de Navier-Stokes sont étudiées par les ingénieurs, les physiciens, les chimistes et même les biologistes. Et ils sont utilisés pour résoudre une variété de problèmes complexes et cruciaux.

Si vous souhaitez construire une voiture de Formule 1 plus rapide, vous devez exploiter la puissance du flux d'air, nécessitant une compréhension du mouvement de l'air. Si vous souhaitez concevoir un médicament pharmaceutique qui peut être livré à l'endroit où il est nécessaire dans le corps le plus rapidement possible, vous devez comprendre la dynamique du flux sanguin. Si vous souhaitez prédire les effets des émissions de dioxyde de carbone sur le climat mondial, vous devez comprendre l'interaction entre l'atmosphère et l'océan. Étant donné que chaque scénario implique le mouvement d'un fluide – quelque chose qui change de forme pour remplir son conteneur – les équations de Navier-Stokes sont utilisées dans tous ces scénarios.

Mais résoudre un si large éventail de problèmes complexes, chacun avec sa propre dynamique riche, nécessite évidemment un ensemble compliqué d'équations – d'où la raison pour laquelle notre compréhension fait actuellement défaut. En fait, c'est pourquoi les équations de Navier-Stokes sont incluses dans les problèmes du millénaire. La déclaration officielle sur ces équations du Clay Mathematics Institute met en évidence la nécessité d'améliorer notre compréhension en tant que concept clé au cœur de la question à un million de dollars:

«Les vagues suivent notre bateau au fur et à mesure que nous serpentons à travers le lac, et les courants d'air turbulents suivent notre vol dans un jet moderne. Les mathématiciens et les physiciens croient qu'une explication et la prédiction de la brise et de la turbulence peut être trouvée par une compréhension des solutions aux équations de Navier. Déverrouillez les secrets cachés dans les équations de Navier-Stokes. »

Alors, comment améliorez-vous votre compréhension d'une équation? La réponse, comme je l'explique aux élèves du secondaire presque quotidiennement, est que vous jetez tout ce que vous pouvez jusqu'à ce qu'il se casse. Cette fissure à la surface est votre chemin. Ensuite, vous continuez à creuser et à sonder jusqu'à ce que l'extérieur apparemment impénétrable se brise soudainement pour révéler le trésor caché en dessous.

Prenez l'exemple historique de la résolution d'équations quadratiques. C'est-à-dire essayer de trouver les valeurs de x qui satisfont une équation de la forme hache² + bx + c = 0. Ceux d'entre vous qui connaissent ce type de problème (généralement étudiés pendant les mathématiques GCSE), reconnaîtront la formule quadratique, qui nous donne les deux racines d'une équation quadratique.

Cette équation fonctionne presque tout le temps. Nous substituons dans les valeurs de A, B et C de l'équation quadratique que nous voulons résoudre, et elle étend les deux solutions. Sauf qu'il y a une situation où cela ne fonctionne pas. À savoir, quand b² – 4AC <0car dans ce scénario, la racine carrée n'a plus de sens. Nous avons trouvé une situation où l'équation se casse.

Ou est-ce? Mathématiciens dans le 16^ème et 17^ème Des siècles avaient l'idée d'utiliser ces situations exactes – où l'équation quadratique se casse apparemment – pour définir à la place un nouveau type de nombre: «nombres imaginaires», qui sont le résultat de nombres négatifs enracinés carrés. Cette nouvelle perspicacité a conduit à l'introduction de nombres complexes et à toute la riche structure mathématique qui a suivi depuis.

C'est ça en un mot. Nous en apprenons souvent plus sur un problème, un modèle ou une équation à partir des rares moments qu'il ne fonctionne pas que de la grande majorité des autres cas où il fonctionne parfaitement. Pour les équations de Navier-Stokes, ces rares cas de ne pas fonctionner incluent les scénarios dans lesquels ils nous disent que la vitesse d'un liquide 2D contournant un angle droit est infinie. D'autres situations similaires se produisent lors de la modélisation des processus de reconnexion du vortex et de la séparation d'un film de savon. Ce sont des phénomènes réels que nous pouvons recréer en laboratoire, mais essayer de les modéliser avec les équations de Navier-Stokes conduit à une complexité apparemment infinie et à la tendance d'une variable au sein du système à devenir infinie.

Ces échecs semblables peuvent en fait nous dire quelque chose de beaucoup plus profond sur nos modèles mathématiques. Mais exactement ce qui est à débattre. C'est peut-être un problème avec le niveau de détail des simulations numériques. C'est peut-être l'hypothèse que les molécules fluide individuelles se comportent comme un continuum.

Ou peut-être que ces incidents de rupture révèlent quelque chose sur la structure inhérente des équations de Navier-Stokes elles-mêmes. Et cela nous rapproche de déverrouiller leurs secrets.

Tom Crawford est mathématicien à l'Université d'Oxford et un conférencier en cette année'S le prochain Le nouveau scientifique en direct.