Certains chiffres sont si inimaginables qu'ils défient les limites des mathématiques modernes, et maintenant les mathématiciens se rapprochent d'un nombre qui peut marquer le bord de cet abîme bizarre
Qu'est-ce qui se cache au bord?
Les mathématiciens amateurs se rapprochent d'un nombre inimaginable – un si grand qu'il se reproduit au bord de ce qui est même connaissable dans le cadre des mathématiques modernes.
Tout découle d'une question apparemment simple: comment savez-vous si un programme informatique s'exécutera pour toujours? Répondre à cela commence par le mathématicien Alan Turing. Dans les années 1930, il a montré que tout algorithme informatique peut être imité en imaginant une simple «machine Turing» qui lit et écrit 0 et 1 sur une bande infiniment longue en suivant un ensemble d'instructions appelées états, avec des algorithmes plus complexes nécessitant plus d'états.
Pour chaque nombre d'états, tels que 5 ou 100, il existe des machines de Turing, mais il n'est pas clair pendant combien de temps chacune de ces machines doit fonctionner. Le temps d'exécution le plus long possible pour chaque nombre d'états est appelé le nombre de castors animé ou BB (n), et cette séquence croît incroyablement rapidement: BB (1) est 1, BB (2) est de 6, mais le cinquième nombre de castors occupé est de 47 176 870.
La valeur exacte du prochain numéro de castor occupé, le sixième, est inconnue, mais une communauté en ligne appelée The Busy Beaver Challenge tente de le découvrir – ils ont découvert BB (5) en 2024, mettant fin à une recherche de 40 ans. Maintenant, un membre connu sous le nom de «MXDYS» a découvert qu'il doit être au moins aussi grand qu'un nombre si grand que même le décrire nécessite une explication.
«Ce nombre est si loin au-delà de la physique, il n'est même pas drôle», explique Shawn Ligocki, ingénieur logiciel et contributeur Busy Beaver Challenge. Il compare la recherche à travers toutes les machines de Turing possibles à la pêche dans une mer mathématique profonde où seuls des morceaux de code exotiques étranges nagent dans l'obscurité.
Le nouveau lien de BB (6) est si important qu'il nécessite un langage mathématique qui transcende l'exponentiation – la pratique de l'augmentation d'un nombre n à la puissance d'un autre x, ou nxcomme 2³, qui est 2 * 2 * 2 = 8. Premièrement, il y a une tétration, parfois écrite comme xn, qui implique une exponentiation itérée, donc 32 serait 2 élevé à la puissance de 2, à la puissance de 2, ce qui est égal à 16.
Remarquablement, MXDYS a montré que BB (6) est au moins 2 tétré au 2 tétré au 2 tétré au 9, une tour de tétration itérée, où chaque tétration est, à son tour, une tour d'exponentiation itérée. Le nombre de toutes les particules de l'univers semble chétif en comparaison, explique Ligocki.
Mais les numéros de castor animés ne sont pas importants simplement à cause de leur taille absurde. Turing a prouvé qu'il doit y avoir des machines Turing dont les comportements ne peuvent pas être prédits sous la théorie ZFC, une base qui sous-tend toutes les mathématiques modernes standard. Il a été inspiré par le «théorème d'incomplétude» du mathématicien Kurt Gödel, qui a montré que les règles de ZFC elle-même ne peuvent pas être utilisées pour prouver que la théorie est garantie d'être absolument libre de toutes les contradictions.
«L'étude des numéros de castors occupés fait que les phénomènes découverts par Gödel et Turing il y a près d'un siècle sont quantitatifs et concrètes», explique Scott Aaronson à l'Université du Texas à Austin. « Au lieu de simplement dire que les machines Turing doivent échapper à la capacité de ZFC à déterminer leur comportement après un point fini, nous pouvons maintenant demander, cela se produit-il déjà avec des machines à 6 États ou seulement avec des machines à 600 états? » Les chercheurs ont jusqu'à présent prouvé que BB (643) échapperait à la théorie de la ZFC, mais bon nombre des plus petits nombres n'ont pas encore été explorés.
«Le problème de castor animé vous donne une échelle très concrète pour réfléchir à la frontière des connaissances mathématiques», explique l'informaticien Tristan Stérin, qui a lancé le Busy Beaver Challenge en 2022.
En 2020, Aaronson a écrit que la fonction de castor animée «code probablement une grande partie de toute vérité mathématique intéressante dans ses cent premières valeurs», et BB (6) ne fait pas exception. Il semble être lié à la conjecture Collatz, un problème mathématique célèbre non résolu qui implique de répéter des opérations arithmétiques simples sur des nombres et de voir s'ils deviennent finalement 1. La recherche de BB (6) semble être liée à une machine Turing qui devrait imiter certaines des étapes de ce problème afin de s'arrêter. Si une telle machine s'arrêtait, cela indiquerait qu'il existe une preuve de calcul pour une version de la conjecture.
Les chiffres avec lesquels les chercheurs ont affaire sont incroyables dans leur ampleur, mais le cadre de castor animé fournit un bâton de compteur pour ce qui serait autrement une région apparemment inintelligible des mathématiques. De l'avis de Stérin, c'est ce qui maintient tant de contributeurs accrochés, même si la plupart d'entre eux ne sont pas des universitaires. Il estime qu'il y en a actuellement quelques dizaines qui travaillent constamment à la recherche de BB (6).
Il y a encore plusieurs milliers de machines de Turing «Holdout» dont le comportement d'arrêt n'a pas été vérifié, dit-il. «Au coin de la rue, il pourrait y avoir une machine inconnaissable», explique Ligocki, ce qui signifie qu'il est indépendant de ZFC et au-delà des limites des mathématiques modernes.
La valeur exacte de BB (6) pourrait-elle également être au coin de la rue? Ligocki et Stérin disent tous les deux qu'ils savent mieux que d'essayer de prédire l'avenir de Busy Beaver, mais le succès récent dans la délimitation du nombre donne à Ligocki une «intuition qu'il y a plus à venir», dit-il.
