Gerd Faltings a choqué les mathématiciens du monde entier pour sa preuve de la conjecture de Mordell en 1983, qui rassemblait des domaines mathématiques apparemment disparates.
Gerd Faltings a remporté le prix Abel 2026
Gerd Faltings a remporté le prix Abel 2026, considéré comme le prix Nobel de mathématiques, pour une preuve révolutionnaire qui a pris d'assaut les mathématiques en 1983. Ses contributions ont contribué à établir l'un des domaines les plus importants des mathématiques modernes, la géométrie arithmétique.
Le couronnement de Faltings, qui a également remporté la prestigieuse médaille Fields en 1986 pour le même travail, a été la preuve de la conjecture de Mordell, un théorème de longue date proposé pour la première fois par Louis Mordell en 1922, selon lequel des équations de plus en plus compliquées produisent moins de solutions.
Faltings, qui travaille à l'Institut Max Planck de mathématiques en Allemagne, se dit « honoré » lorsqu'il a appris la nouvelle, mais s'est montré réservé quant à l'impact de ses réalisations. « Quelqu'un a dit que l'ascension du mont Everest était due au fait qu'il était là et que c'était un problème », explique Faltings. « J'ai résolu (la conjecture de Mordell), mais au final, cela ne nous permet pas de guérir le cancer ou la maladie d'Alzheimer, cela ne fait qu'étendre notre connaissance des choses. »
La conjecture de Mordell concerne les équations diophantiennes, une vaste catégorie qui comprend des équations célèbres comme a² + b² = c² du théorème de Pythagore et aⁿ + bⁿ = cⁿ, qui est au centre du célèbre dernier théorème de Fermat. Mordell voulait comprendre lesquelles de ces équations diophantiennes, dans leur forme plus générale, ont une infinité de solutions, et lesquelles n'en ont qu'un nombre fini.
Si ces équations sont réécrites avec des nombres complexes, une sorte de nombre à 2 dimensions, puis tracées sous forme de surfaces, comme des sphères ou des beignets, Mordell a compris que c'est le nombre de trous que contient la surface qui détermine le nombre de solutions existantes. Mordell avait l'intuition que pour les surfaces comportant plus de trous qu'un beignet, il n'y aurait alors qu'un nombre fini de solutions rationnelles, qui sont des solutions utilisant soit des nombres entiers, soit des fractions, mais il n'a pas pu le prouver.
Lorsque Faltings a finalement prouvé l'intuition de Mordell plus de six décennies plus tard, les mathématiciens ont été surpris non seulement par le résultat, mais aussi par la manière dont il s'y était pris. Sa preuve combinait des idées issues de disciplines mathématiques apparemment disparates, comme la géométrie et l’arithmétique. « C'est très court, c'est comme un miracle », déclare Akshay Venkatesh de l'Institute for Advanced Study de Princeton. « Il s'agit d'un article de seulement 18 pages, qui oscille de manière complexe entre différentes techniques et différentes intuitions. »
Faltings attribue son succès au fait qu'il est à l'aise avec l'incertitude et qu'il peut prendre des risques sur des idées qui ne sont peut-être pas prouvées mais dont il a une intuition. «Parfois, je devance les gens qui essaient de tout prouver d'emblée, mais parfois je m'égare aussi», explique Faltings.
« L'un des aspects impressionnants de son argument est qu'il couvre beaucoup de choses et que les pièces doivent s'emboîter », explique Venkatesh. « On se demande comment a-t-il eu la confiance nécessaire pour se lancer dans cette aventure sans savoir encore comment ces pièces vont s’assembler ?
Bon nombre des conjectures résolues par Faltings et des outils qu'il a développés dans le cadre de sa preuve de Mordell ont ensuite constitué les fondements de certains des plus grands domaines de la recherche mathématique actuelle, comme la théorie p-adique de Hodge, qui examine les liens entre les courbes d'une forme et sa structure, mais en utilisant des systèmes numériques assez différents du nôtre. Il a également directement influencé les développements marquants des mathématiques modernes.comme ouvrir la voie à la preuve d'Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat et encadrer Shinichi Mochizuki, le mathématicien japonais qui prétend de manière controversée avoir prouvé la conjecture ABC.
Faltings dit qu’il n’avait pas l’intention de travailler sur des problèmes ayant un impact aussi démesuré. « Mon idée était la suivante: je ne devrais pas regarder ce qui peut me rendre célèbre et riche, mais j'essaie de trouver des choses qui me plaisent », explique Faltings. « Parce que si tu travailles sur des choses que tu aimes, c'est plus amusant. »
