Pourquoi zéro est le nombre le plus important en mathématiques

Il a fallu beaucoup de temps pour que zéro soit reconnu comme un nombre, et encore moins comme l'un des plus puissants – mais il est désormais clair que chaque nombre est composé de zéros, dit Jacob Aron

Quel est le nombre le plus important dans toutes les mathématiques ? Ok, c'est une question assez idiote : parmi des possibilités infinies, comment pourriez-vous choisir ? Je suppose qu'un gros frappeur comme 2 ou 10 a de meilleures prétentions à la couronne que quelque chose arraché au hasard parmi des milliards de milliards, mais en réalité, ce serait encore assez arbitraire. Néanmoins, je vais affirmer qu’il existe un nombre très important : zéro. Laissez-moi voir si je peux vous convaincre.

L'ascension de Zero au sommet du panthéon mathématique commence, comme le voyage d'un héros typique, avec des origines modestes. En fait, lorsqu’elle a débuté il y a environ 5 000 ans, ce n’était même pas vraiment un nombre. À l’époque, les anciens Babyloniens utilisaient une écriture cunéiforme composée de lignes et de coins pour écrire les nombres. Ils étaient similaires aux marques de pointage, avec un type de marque représentant les nombres de 1 à 9 et un autre pour compter 10, 20, 30, 40 et 50.

Ces marques vous permettent de compter jusqu'à 59, alors que se passe-t-il lorsque vous atteignez 60 ? Eh bien, les Babyloniens ont simplement recommencé, en utilisant la même marque pour 1 que pour 60. Ce système numérique en base 60 était pratique car 60 est divisible par de nombreux autres nombres, ce qui facilite les calculs, ce qui explique en partie pourquoi nous l'utilisons encore pour lire l'heure aujourd'hui. Mais ne pas pouvoir faire la distinction entre 1 et 60 était un gros inconvénient.

La solution était alors zéro – ou du moins, quelque chose comme ça. Les Babyloniens utilisaient deux coins inclinés pour indiquer l’absence d’un nombre, ce qui leur permettait de positionner d’autres nombres au bon endroit, tout comme nous le faisons aujourd’hui.

Par exemple, dans le système numérique moderne, 3601 signifie trois mille, six centaines, zéro dizaines et un un. Les Babyloniens écriraient cela comme soixante soixante, zéro dizaines et un un, mais sans leur zéro de position, les symboles pour cela seraient exactement les mêmes que un soixante et un un. Mais il est important de noter que les Babyloniens ne comptaient pas les positions avec un zéro – il s'agissait plutôt d'un signe de ponctuation ou d'un rappel pour passer au numéro suivant.

Ce type d'espace réservé zéro a été utilisé dans d'autres cultures anciennes pendant des millénaires, mais pas dans toutes. Les Romains, notamment, n'avaient pas de zéro car les chiffres romains ne sont pas un système de numérotation positionnelle, avec un X représentant toujours 10, peu importe où il se trouve. La prochaine évolution de zéro n'est arrivée qu'au 3^rd siècle après JC, du moins selon un manuscrit découvert dans ce qui est aujourd'hui le Pakistan. Il contient des centaines de symboles de points utilisés comme zéros de position, et c'est ce symbole qui a finalement évolué pour devenir le 0 que nous connaissons aujourd'hui.

Pourtant, l’idée du zéro comme nombre à part entière, et non comme simple espace réservé, devrait attendre encore quelques siècles. Il apparaît pour la première fois dans un texte appelé Brāhmasphutasiddhānta, écrit par le mathématicien indien Brahmagupta vers 628 après JC. Alors que de nombreuses personnes avant lui savaient que quelque chose d'étrange se produisait si l'on essayait, par exemple, de soustraire 3 à 2, de tels calculs étaient traditionnellement considérés comme absurdes. Brahmagupta fut le premier à prendre l'idée au sérieux, décrivant l'arithmétique avec des nombres négatifs et zéro. Sa définition de la façon de manipuler zéro est assez proche de notre concept moderne, à une exception importante près : que se passe-t-il lorsque l’on divise par zéro ? Brahmagupta a dit 0/0 = 0, mais a équivoque tout autre nombre divisé par zéro.

Il faudrait encore mille ans pour trouver une véritable réponse à cette question, et cela donnerait naissance à l'un des outils les plus puissants de l'arsenal du mathématicien : le calcul. Développé indépendamment par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz au 17^ème siècle, le calcul implique la manipulation de nombres infinitésimaux – ceux qui sont aussi proches que possible de zéro sans pour autant être nuls. Essentiellement, les infinitésimaux vous permettent de vous faufiler jusqu'à l'idée de diviser par zéro sans jamais vraiment l'atteindre, et cela s'avère extrêmement utile.

Pour découvrir pourquoi, c'est parti pour un petit tour. Supposons que nous conduisions une voiture de plus en plus vite et que vous posiez progressivement le pied pour augmenter l'accélération. Nous pourrions décrire la vitesse de la voiture avec l’équation v = t², où t représente le temps. Ainsi, après 4 secondes, disons, votre vitesse serait de 16 mètres par seconde, à partir de 0. Mais quelle distance avez-vous parcourue pendant cette période ?

Puisque la distance est égale à la vitesse multipliée par le temps, nous pourrions simplement essayer de multiplier 16 par 4 pour obtenir 64 mètres. Mais cela ne peut pas être vrai, car vous n'atteignez votre vitesse de pointe de 16 m/s qu'à la fin. Peut-être pourrions-nous plutôt diviser le trajet en deux, en prenant la première moitié comme un déplacement à 4 m/s pendant 2 secondes, puis à 16 m/s pendant 2 secondes. Cela nous donne une distance de 4 x 2 + 16 x 2 = 40 mètres. Mais en réalité, c'est une surestimation, car nous comptons toujours sur les vitesses de pointe de ces deux mi-temps.

Pour augmenter la précision de notre estimation, nous devons réduire notre délai afin de multiplier uniquement la vitesse à laquelle nous voyageons à un point particulier par le temps que nous passons réellement à ce point – et c'est ici que nous arrivons à zéro. Si vous tracez v = t² sur un graphique et superposez nos estimations précédentes, vous verrez que la première ne correspond pas tout à fait et que la deuxième estimation est plus proche. Pour obtenir la mesure la plus précise, nous aurions besoin de découper le voyage en périodes de zéro seconde, puis de les additionner. Mais cela impliquerait de diviser par zéro, ce qui est impossible – ou du moins, c’était le cas jusqu’à l’invention du calcul.

Newton et Leibniz ont trouvé des astuces qui vous ont permis de vous rapprocher de la division par zéro sans le faire, et même si une explication complète du calcul dépasse le cadre de cet article (essayez un cours en ligne si vous êtes intéressé !), leurs méthodes révèlent la vraie réponse, qui est l'intégrale de t², ou t³/3. Cela nous donne une distance de 21 mètres et 1/3. C'est ce qu'on appelle communément l'aire sous la courbe, ce qui devient plus évident lorsque vous la voyez représentée graphiquement comme ceci :

Le calcul est utilisé bien plus que le calcul de la distance parcourue par une voiture – en fait, nous l’utilisons pour à peu près tout ce qui implique la compréhension de quantités changeantes, de la physique à la chimie en passant par l’économie. Rien de tout cela ne serait possible sans zéro et sans une compréhension de la manière d’exercer son formidable pouvoir.

Pour moi cependant, la véritable renommée de Zero remonte à la fin du 19^ème et début 20^ème siècles, à une époque où les mathématiques étaient plongées dans une crise existentielle. Les mathématiciens et les logiciens fouillant dans les fondements de leur sujet découvraient de plus en plus de failles dangereuses. Dans le cadre de leurs efforts pour consolider les choses, ils ont commencé à définir rigoureusement des objets mathématiques qui étaient auparavant considérés comme si évidents qu’ils n’avaient pas besoin d’une définition formelle – y compris les nombres eux-mêmes.

Qu’est-ce qu’un nombre exactement ? Il ne peut pas s'agir d'un mot, comme trois, ou d'un symbole, comme 3, car ce ne sont que des étiquettes arbitraires que nous donnons au concept de trinité. Nous pouvons montrer du doigt une collection d'objets, comme une pomme, une poire et une banane et dire « il y a trois fruits dans ce bol », mais cela ne nous ramène toujours pas à sa nature fondamentale. Ce dont nous avons besoin, c’est de quelque chose que nous pouvons compter de manière abstraite et que nous pouvons regrouper dans une collection que nous pouvons appeler « trois ». C’est exactement ce que font les mathématiques modernes – avec zéro.

Plutôt que d'une collection, les mathématiciens parlent d'ensembles – l'exemple de fruit serait donc {pomme, poire, banane}, les accolades indiquant un ensemble. La théorie des ensembles est à la base des fondements modernes des mathématiques ; vous pouvez le considérer presque comme le « code informatique » des mathématiques, tous les objets mathématiques devant en fin de compte être décrits par rapport à des ensembles, pour garantir une cohérence logique et éviter certaines des lacunes fondamentales découvertes par les mathématiciens.

Pour définir les nombres, les mathématiciens commencent par « l’ensemble vide » – l’ensemble contenant zéro objet. Cela peut être noté {} mais s'écrit plus utilement ∅, pour des raisons qui apparaîtront clairement. Une fois que nous avons l’ensemble vide, nous pouvons définir le reste des nombres. Le concept d'unité est un ensemble contenant un objet, alors mettons-y l'ensemble vide : {{}}, ou {∅}, ce qui est plus agréable pour les yeux. Le nombre suivant, deux, nécessite deux objets. Le premier peut être l’ensemble vide, mais qu’en est-il du second ? Eh bien, nous avons déjà créé un autre objet lors de la définition d'un, l'ensemble contenant l'ensemble vide, alors utilisons-le. Cela fait que notre ensemble définissant deux ressemble à {∅, {∅}}. Trois est alors {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, et vous pouvez continuer à faire cela aussi longtemps que vous le souhaitez.

En d’autres termes, zéro n’est pas seulement le nombre le plus important – d’une certaine manière, c’est le seul nombre. Jetez un coup d’œil sous le capot de n’importe quel nombre et vous constaterez qu’il n’y a que des zéros jusqu’en bas. Pas mal pour quelque chose autrefois considéré comme un simple espace réservé.