Un seul cadre mathématique peut-il décrire le mouvement d'un fluide et des particules individuelles en lui? Cette question, posée pour la première fois en 1900, a maintenant une solution qui pourrait nous aider à comprendre le comportement complexe de l'atmosphère et des océans.
Comprendre les fluides nécessite des outils mathématiques qui fonctionnent à différentes échelles
Les mathématiciens ont finalement réussi à unifier les lois de la physique qui régissent les mouvements des particules à différentes échelles. Leurs efforts résolvent une question posée par le mathématicien David Hilbert en 1900 dans le cadre d'un programme ambitieux pour tous les mathématiciens du 20e siècle – et pourrait approfondir notre compréhension du comportement complexe des fluides dans l'atmosphère et les océans.
«C'est un résultat majeur à mon avis. Je pensais que c'était complètement hors de portée », explique Benjamin Texier à l'Université de Lyon en France.
Plus précisément, Zaher Hani à l'Université du Michigan et ses collègues ont démontré comment régler de manière cohérente et significativement ensemble les lois physiques à trois échelles différentes. Premièrement, il y a le domaine microscopique de particules uniques en collision entre eux conformément aux lois du mouvement d'Isaac Newton. Dans le domaine mésoscopique d'objets plus grands, les collections de telles particules suivent plutôt les lois statistiques lancées par Ludwig Boltzmann. À l'échelle macroscopique encore plus grande, où nous résidons, les physiciens se tournent vers des outils mathématiques notoirement difficiles tels que l'équation de Navier-Stokes, qui capture toutes les subtilités de la façon dont un fluide se comporte.
Au fil des ans, les physiciens et les mathématiciens ont établi des liens entre les trois cadres, mais jusqu'à présent, ils n'ont jamais été pleinement unis. La quête pour le faire a commencé au 19e siècle, dit Hani, après que Boltzmann ait présenté ses techniques statistiques et ses contemporains ont récolté une preuve mathématique rigoureuse qu'ils ont réellement travaillé. Cela s'est finalement transformé en sixième problème à l'ordre du jour de Hilbert, qui appelle à une dérivation de lois dictant le comportement des fluides des axiomes mathématiques les plus fondamentaux et nus.
L'une des raisons pour lesquelles cela était si souhaitable est que certaines de ces lois sont réversibles dans le temps et certaines ne le sont pas, explique le membre de l'équipe Yu Deng à l'Université de Chicago. Par exemple, les lois de Newton ne sont pas sensibles à la direction du flux du temps, qui rend «avant» et «après» interchangeable, tandis que les équations statistiques de Boltzmann suggèrent un moyen de délimiter les deux. Deng dit que le travail de son équipe, qui est en cours depuis plus d'une demi-décennie, élucide quand et comment ce commutateur se produit, éliminant la possibilité d'un paradoxe mathématique lié au temps.
Un ingrédient clé de l'approche de l'équipe repose sur la refonte des calculs en termes de diagrammes provenant du physicien Richard Feynman, qui les a utilisés pour résoudre les problèmes de théorie des champs quantiques. Les mathématiciens ont appris à utiliser ces diagrammes pour lutter contre les équations difficiles pour les particules qui interagissent à plusieurs reprises les unes avec les autres, comme cela se produit dans un liquide, mais Hani dit que cela peut devenir écrasant. Au lieu de cela, l'équipe a trouvé un moyen de réduire le nombre de diagrammes qu'il a dû calculer exactement, ce qui leur a permis de construire un chemin mathématique clair des lois de Newton à l'équation de Navier-Stokes.
Texier dit que bien qu'il y ait une longue histoire de solutions partielles au sixième problème de Hilbert, la nouvelle œuvre est un «véritable bond en avant», validant à la fois la façon dont Hilbert a posé le problème et l'intuition derrière l'œuvre originale de Boltzmann. En d'autres termes: la nouvelle preuve réaffirme la façon dont les physiciens réfléchissent aux fluides et aux gaz depuis plus d'un siècle, tout en garantissant une base mathématique ferme. Mais Hani dit que l'équipe n'a pas l'impression que leur travail ferme le livre sur la quête de Hilbert.
«L'importance du sixième problème (de Hilbert) n'est vraiment pas seulement en termes d'axiomatiser les lois de la physique, mais c'est aussi en termes de compréhension des implications de ces modèles (mathématiques). Nous savons qu'ils se décomposent à un moment donné. Je pense que la motivation moderne pour le problème de Hilbert (sixième) devrait être en termes de compréhension de ce qui se passe lorsque ces modèles se cassent », dit-il.
Deng dit qu'il est particulièrement intéressé par ce qui se passe à l'échelle la plus petite et la plus microscopique, lorsque les équations de liquides plus macroscopiques développent des singularités, en d'autres termes lorsque leurs solutions deviennent dénuées de sens. Cela peut se produire dans un large éventail de situations dans l'océanographie et les sciences atmosphériques, mais les chercheurs peuvent désormais avoir une image exacte en raison de leur lien rigoureux entre les deux échelles.
Pour Texier, toutes les implications de la nouvelle œuvre ne sont pas encore claires, simplement parce que c'est un morceau de mathématiques si riche et complexe. «Je pense que cela va prendre beaucoup d'efforts pour que la communauté la digère», dit-il.
