Quelles formes sont faites par une aiguille de rotation? Ce problème apparemment innocent est intrigué des mathématiciens depuis des décennies, mais maintenant une nouvelle preuve est appelée le plus grand résultat du siècle en cours, car il pourrait aider à résoudre de nombreux autres problèmes délicats
La forme la plus simple tracée par une aiguille de rotation (orange) est un cercle, mais les formes avec une zone plus petite sont possibles, comme le deltoïde (à droite), créé en faisant tourner une aiguille tandis que son point central trace un cercle
Les mathématiciens ont résolu un problème vieux de plusieurs décennies lié à la rotation d'une aiguille, dans ce qui a été salué comme l'un des résultats mathématiques les plus importants ces derniers temps. Une fois considéré comme «impossible», la solution devrait maintenant débloquer des réponses à une série d'autres problèmes difficiles qui avaient semblé complètement hors de portée. «Le journal est peut-être la plus grande percée en mathématiques du siècle en cours», explique Nets Katz à l'Université Rice à Houston, au Texas.
Le problème a ses origines en 1917, lorsque le mathématicien japonais Sōichi Kakeya a demandé à quel point vous auriez besoin pour faire tourner une aiguille à 360 degrés, si vous êtes autorisé à déplacer l'aiguille d'avant en arrière dans n'importe quelle direction.
Une solution évidente consiste simplement à faire tourner l'aiguille, à balayer un cercle, mais les mathématiciens ont rapidement trouvé que la manœuvre de les manières de manière complexe, similaire à la chute d'une voiture dans les deux sens pour entrer dans une place de parking serrée, vous permet de faire pivoter l'aiguille dans des formes beaucoup plus petites (voir ci-dessus).
Lorsque les mathématiciens ont commencé à explorer davantage, ils ont trouvé des résultats étranges. Par exemple, si vous deviez utiliser une véritable aiguille, son épaisseur deviendrait importante, tout comme une voiture plus grande est plus difficile à garer. Pour cette raison, les mathématiciens ont considéré la question d'une aiguille infiniment mince et ont constaté que la zone de la plus petite forme nécessaire pour le tourner était nulle, malgré l'aiguille ayant une longueur définie.
Une question qui se pose sur de telles formes est de quelle dimension ils ont. Alors que les formes traditionnelles comme les carrés et les cubes sont respectivement bidimensionnelles, respectivement, des formes étranges comme les fractales peuvent avoir des dimensions qui se situent quelque part entre les deux. Une question qui est devenue connue sous le nom de conjecture de Kakeya demande si la dimension de la forme tracée par les manœuvres de l'aiguille serait toujours la même que celle de l'espace dans lequel il se déplace.
«Quand j'ai entendu parler pour la première fois, cela semblait très intuitif», explique Larry Guth au Massachusetts Institute of Technology. « Il semblait que cela devait être vrai, mais il s'avère que c'est très difficile à prouver. »
Prouver que le cas unidimensionnel a été facile, car une aiguille en 1D ne peut pas du tout tourner. Ce n'est que dans les années 1970 que le mathématicien britannique Roy Davies a prouvé la conjecture de Kakeya pour deux dimensions, mais le cas tridimensionnel a résisté aux meilleurs efforts des mathématiciens au cours des décennies qui ont suivi.
Maintenant, Joshua Zahl à l'Université de la Colombie-Britannique et à Hong Wang à l'Université de New York l'ont craqué, montrant que, comme le soupçonne le volume que l'aiguille traverse doit également être 3D.
«Vous ne voulez pas vous laisser trop excité, car de nombreux mathématiciens ont, à un moment donné de leur vie, ils ont résolu un problème grave», explique Zahl. «Je pensais que dans le passé, j'ai peut-être résolu la conjecture de Kakeya pour un après-midi, puis j'ai réalisé que les whoops, non, c'était juste un rêve de pipe.»
Katz et ses collègues avaient précédemment montré que la solution à la conjecture de Kakeya en trois dimensions doit être proche de trois, mais ils ne pouvaient pas vérifier que c'était exactement trois dimensions. Cependant, ils ont développé une stratégie sur la façon dont vous pourriez le prouver, que Zahl et Wang ont utilisés comme guide. «Ils ont vraiment abordé beaucoup plus de jus de cette méthode, c'est incroyable», explique Terence Tao à l'Université de Californie à Los Angeles, qui a travaillé avec Katz.
L'une des nombreuses formes étranges produites en faisant tourner une aiguille
Cette stratégie impliquait d'abord d'imaginer un modèle de mouvements d'aiguille avec une dimension inférieure à l'espace dans lequel elle se déplace, ce qui réfuterait la conjecture. La paire a ensuite montré que ces contre-exemples imaginaires doivent toujours avoir des propriétés extrêmes et exigeantes. Zahl et Wang ont ensuite constaté que ces propriétés contredisent les théorèmes connus, prouvés – donc sans contre-exemples possibles, la conjecture de Kakeya doit être vraie.
«Il résout complètement un problème qui a été attaqué par une variété de techniques par un certain nombre des personnalités principales du domaine, dont la plupart n'ont obtenu que des résultats partiels modestes», explique Katz.
Outre la satisfaction de craquer ce problème de longue durée, prouvant que la conjecture de Kakeya aidera également les mathématiciens à résoudre des problèmes connexes en utilisant les outils mathématiques développés par Zahl et Wang. «Dans mon sous-champ d'analyse, c'est certainement la plus grande avancée en 10 ans», explique Tao. «Cette conjecture fait partie de toute cette famille de problèmes qui semblaient impossibles.»
Répondre à ces problèmes pourrait à son tour aider à décoller certaines des plus grandes questions dans des domaines tels que la relativité générale ou l'analyse harmonique, l'étude mathématique de la façon dont les vagues se comportent, explique Guth. La preuve pourrait même aider à révéler l'origine des nombres premiers en s'attaquant à l'un des problèmes les plus infâmes non résolus en mathématiques, l'hypothèse de Riemann.
« La conjecture de Kakeya n'est qu'une petite composante de ce qui se passe avec l'hypothèse (hypothèse de Riemann), mais c'était l'un des nombreux obstacles, et alors maintenant ça a disparu, beaucoup de choses sont maintenant déverrouillées », explique Tao. «Je prévois des années et des années d'activité maintenant sur tout cet arbre de problèmes plus durs dans la théorie des nombres, les équations différentielles partielles, la combinatoire et ainsi de suite, qui étaient simplement considérées comme désespérées, maintenant elles semblent très difficiles.»
